Descompón en fracciones simples: \(\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}\)

Resolución paso a paso

La fracción es impropia, porque el grado del numerador es mayor. Dividimos polinomios:

\[
x^4-2x^2+4x+1=(x+1)(x^3-x^2-x+1)+4x.
\]

Así:

\[
\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}
=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}.
\]

Factorizamos el denominador del resto:

\[
x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1).
\]

Planteamos:

\[
\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)}
=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}.
\]

Al multiplicar por el denominador y sustituir \(x=1\) y \(x=-1\), obtenemos \(B=2\) y \(C=-1\). Comparando el coeficiente de \(x^2\), resulta \(A=1\).

Resultado:

\[
\boxed{x+1+\frac1{x-1}+\frac2{(x-1)^2}-\frac1{x+1}}
\]