PropiaAnálisisCálculo de límitesIntermedio
Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+3}{x^2}\right)^{-x}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Análisis
Tema
Cálculo de límites
Fuente
Propia
Dificultad
Intermedio
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Calcula el siguiente límite:
\[
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+3}{x^2}\right)^{-x}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
La base es positiva para \(x\) grande y tiende a cero:
\[
\frac{2x+3}{x^2}
=\frac2x+\frac3{x^2}
\longrightarrow0^+.
\]
Como el exponente es negativo, invertimos la base:
\[
\left(\frac{2x+3}{x^2}\right)^{-x}
=\left(\frac{x^2}{2x+3}\right)^x.
\]
Ahora:
\[
\frac{x^2}{2x+3}
=\frac{x}{2+\frac3x}
\longrightarrow+\infty.
\]
Una base que crece sin límite elevada a \(x\to+\infty\) también crece sin límite.
Resultado:
\[
\boxed{+\infty}
\]