Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5x+4}-3}{2-\sqrt{4x}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x=1\), obtenemos \(\frac00\). Para resolver esta indeterminación, racionalizamos primero el numerador:

\[
\sqrt{5x+4}-3
=\frac{5x+4-9}{\sqrt{5x+4}+3}
=\frac{5(x-1)}{\sqrt{5x+4}+3}.
\]

Racionalizamos también el denominador:

\[
2-\sqrt{4x}
=\frac{4-4x}{2+\sqrt{4x}}
=-\frac{4(x-1)}{2+\sqrt{4x}}.
\]

Dividimos ambas expresiones y simplificamos \(x-1\):

\[
-\frac{5(2+\sqrt{4x})}{4(\sqrt{5x+4}+3)}.
\]

Sustituimos \(x=1\):

\[
-\frac{5(2+2)}{4(3+3)}
=-\frac{20}{24}=-\frac56.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-\frac56}
\]