Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to1}\left(\frac{2x+1}{3x}\right)^{\frac4{x^2-1}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: La base tiende a \(1\) y el exponente crece sin límite en valor absoluto, por lo que aparece la forma indeterminada \(1^\infty\). Para resolverla, escribimos la base en la forma \(1+u(x)\):

\[
\frac{2x+1}{3x}
=1+\frac{1-x}{3x}
=1-\frac{x-1}{3x}.
\]

Calculamos el producto entre el incremento de la base y el exponente:

\[
-\frac{x-1}{3x}\cdot\frac4{x^2-1}
=-\frac{x-1}{3x}\cdot\frac4{(x-1)(x+1)}.
\]

Simplificamos \(x-1\):

\[
-\frac4{3x(x+1)}
\longrightarrow-\frac4{3\cdot1\cdot2}
=-\frac23.
\]

Aplicando el límite notable, obtenemos \(e^{-2/3}\).

Resultado:

\[
\boxed{e^{-2/3}}
\]