Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{5x+2}{5x-2}\right)^{3x-1}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: La base tiende a \(1\) y el exponente a \(+\infty\), por lo que obtenemos \(1^\infty\). Para resolver esta indeterminación, escribimos la base como \(1+u(x)\):

\[
\frac{5x+2}{5x-2}
=1+\frac4{5x-2}.
\]

Calculamos el producto entre el incremento de la base y el exponente:

\[
\frac4{5x-2}(3x-1)
=\frac{12x-4}{5x-2}.
\]

Numerador y denominador tienen grado \(1\), por lo que:

\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{12x-4}{5x-2}
=\frac{12}{5}.
\]

Aplicando el límite notable:

\[
e^{12/5}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{e^{12/5}}
\]