Simplifica: \(\frac{\left(1-\tan^2\alpha\right)\sin\alpha\sec^2\alpha}{\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\tan\alpha}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Simplifica la siguiente expresión:
\[
\frac{\left(1-\tan^2\alpha\right)\sin\alpha\sec^2\alpha}{\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\tan\alpha}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Transformamos el factor \(1-\tan^2\alpha\):
\[
1-\tan^2\alpha
=1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}
=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}.
\]
Sustituimos también \(\sec^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) y \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):
\[
\frac{\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}
\cdot\sin\alpha\cdot\dfrac{1}{\cos^2\alpha}}
{\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}.
\]
Simplificamos los factores comunes \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) y \(\sin\alpha\):
\[
\frac{1}{\cos^4\alpha}\cdot\cos\alpha
=\frac{1}{\cos^3\alpha}.
\]
Por tanto,
\[
\boxed{\sec^3\alpha}.
\]