Menor, adjunto y matriz inversa
Herramientas clave para calcular determinantes, matrices inversas y resolver sistemas.
Idea básica
Los menores y adjuntos permiten calcular determinantes de orden mayor y construir la matriz inversa. Son herramientas clave en Álgebra y muy habituales en la PAU.
Menor de un elemento
El menor de un elemento \(a_{ij}\) es el determinante que resulta al eliminar su fila y su columna.
\[ M_{ij} = \text{determinante que se obtiene al suprimir la fila } i \text{ y la columna } j \]
Ejemplo:
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
El menor de \(a_{11}\) es:
\[ M_{11}= \begin{vmatrix} 4 & 5\\ 8 & 9 \end{vmatrix} =4\cdot9-5\cdot8=36-40=-4 \]
Adjunto de un elemento
El adjunto de un elemento se obtiene aplicando un signo al menor:
\[ Adj(a_{ij}) = (-1)^{i+j} M_{ij} \]
Por ejemplo, el adjunto de \(a_{11}\) es:
\[ Adj(a_{11}) = (-1)^{1+1} M_{11} = (+1)\cdot(-4)=-4 \]
Y el adjunto de \(a_{12}\) tendría signo negativo porque \(1+2=3\):
\[ Adj(a_{12}) = (-1)^{3} M_{12} = -M_{12} \]
Matriz de adjuntos
La matriz de adjuntos se construye colocando el adjunto de cada elemento en su posición correspondiente.
Matriz inversa
Una matriz cuadrada \(A\) tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.
\[ \det(A)\neq 0 \]
En ese caso, la inversa puede calcularse mediante la fórmula:
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{Adj}(A)^T \]
Es decir, se calculan los adjuntos, se forma la matriz de adjuntos, se transpone y se divide todo entre el determinante.
Cálculo de la matriz inversa por Gauss-Jordan
Además de la fórmula con adjuntos, la matriz inversa también puede calcularse mediante Gauss-Jordan, un método muy útil y directo.
Se empieza construyendo la matriz ampliada \((A \mid I)\), donde \(I\) es la identidad del mismo orden. Después, mediante operaciones elementales por filas, se transforma la parte izquierda en la identidad.
Si se consigue, la parte derecha será la inversa:
\[ (A\mid I)\longrightarrow (I\mid A^{-1}) \]
Ejemplo:
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 5 \end{pmatrix} \]
Formamos la ampliada:
\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array} \right) \]
Hacemos cero el 3 de la segunda fila:
\[ F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1 \]
\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -3 & 1 \end{array} \right) \]
Convertimos el pivote en 1:
\[ F_2 \leftarrow -F_2 \]
\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \]
Ahora hacemos cero el 2 de la primera fila:
\[ F_1 \leftarrow F_1 - 2F_2 \]
\[ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -5 & 2\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \]
Por tanto, la inversa es:
\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \]
Cálculo de cualquier determinante de orden \(n\) por recurrencia
Cuando el determinante es de orden grande, puede calcularse desarrollando por una fila o columna, usando menores y adjuntos. Este proceso se llama desarrollo por adjuntos o cálculo por recurrencia.
Por ejemplo, desarrollando por la primera fila:
\[ \det(A)=a_{11}Adj(a_{11})+a_{12}Adj(a_{12})+\cdots+a_{1n}Adj(a_{1n}) \]
En la práctica, conviene elegir una fila o columna con muchos ceros para simplificar el cálculo.
Ejemplo de determinante \(4\times4\) simplificado con Gauss
Vamos a calcular el determinante de
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 7 & 4 & 2 \end{pmatrix} \]
Queremos dejar en la primera columna un \(1\) y debajo tres ceros.
Aplicamos:
\[ F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1,\qquad F_3 \leftarrow F_3 - F_1,\qquad F_4 \leftarrow F_4 - 3F_1 \]
Queda:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Ahora desarrollamos por la primera columna:
\[ \det(A)= 1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]
Calculamos el determinante \(3\times3\) por Sarrus:
\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1\cdot1\cdot2 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1) - (1\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot2 + 1\cdot1\cdot1) \]
\[ =(2+1-1)-(1-2+1)=2-0=2 \]
Por tanto,
\[ \det(A)=2 \]
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Qué debes recordar
Resumen final
- El menor de un elemento se obtiene suprimiendo su fila y su columna.
- El adjunto añade un signo al menor según la posición.
- La matriz inversa puede calcularse por adjuntos o por Gauss-Jordan.
- Un determinante grande puede simplificarse mucho usando operaciones elementales por filas.
- Elegir una fila o columna con muchos ceros facilita el desarrollo.