Propiedades de los determinantes
Reglas fundamentales para calcular determinantes más rápido y entender cómo cambian al operar con filas y columnas.
Este tema es especialmente importante en Bachillerato porque permite simplificar cálculos y resolver ejercicios de PAU con mucha más seguridad.
Idea básica
Las propiedades de los determinantes permiten transformar una matriz sin tener que recalcular todo desde cero. Saber aplicarlas bien ahorra tiempo, evita errores y facilita mucho el trabajo con matrices grandes.
¿Por qué son tan importantes?
En ejercicios de Bachillerato y de PAU, rara vez conviene calcular un determinante grande directamente. Lo normal es simplificarlo antes usando propiedades.
Estas propiedades sirven, por ejemplo, para:
- hacer aparecer ceros y desarrollar más rápido;
- detectar enseguida que un determinante vale cero;
- relacionar determinantes parecidos sin volver a calcularlos;
- simplificar matrices antes de aplicar Gauss o adjuntos.
Propiedad 1. Si dos filas o dos columnas son iguales, el determinante es cero
Si una matriz tiene dos filas iguales o dos columnas iguales, entonces
\[
\det(A)=0
\]
Ejemplo:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix}=0
\]
Esto ocurre porque la matriz pierde independencia: una fila repite exactamente a otra.
Propiedad 2. Si una fila o una columna es toda de ceros, el determinante es cero
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 0\\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}=0
\]
Es una de las propiedades más rápidas de aplicar en un examen.
Propiedad 3. Intercambiar dos filas o dos columnas cambia el signo del determinante
Si permutamos dos filas, el valor absoluto del determinante no cambia, pero sí cambia el signo:
\[
\det(B)=-\det(A)
\]
Ejemplo:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\qquad\Rightarrow\qquad
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2
\]
Si intercambiamos las filas:
\[
B=
\begin{pmatrix}
3 & 4\\
1 & 2
\end{pmatrix}
\qquad\Rightarrow\qquad
\det(B)=3\cdot2-4\cdot1=2
\]
Se comprueba que
\[
\det(B)=-\det(A)
\]
Propiedad 4. Sacar un factor común de una fila o una columna
Si todos los elementos de una fila o columna tienen un factor común, se puede sacar fuera del determinante.
\[
\begin{vmatrix}
2 & 4\\
3 & 5
\end{vmatrix}
=
2\begin{vmatrix}
1 & 2\\
3 & 5
\end{vmatrix}
\]
Ejemplo:
\[
\begin{vmatrix}
6 & 9\\
2 & 5
\end{vmatrix}
=
3\begin{vmatrix}
2 & 3\\
2 & 5
\end{vmatrix}=3(10-6)=12
\]
Propiedad 5. Si una fila es combinación de otra, el determinante es cero
Si una fila es proporcional a otra, entonces el determinante vale cero.
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{vmatrix}=0
\]
La segunda fila es el doble de la primera.
En general, si las filas o columnas son linealmente dependientes, el determinante se anula.
Propiedad 6. Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante
Esta es una de las propiedades más útiles para simplificar determinantes mediante operaciones tipo Gauss.
Si hacemos:
\[
F_i \leftarrow F_i + kF_j
\]
entonces el determinante no cambia.
Ejemplo:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
2 & 5 & 3\\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
Hacemos:
\[
F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1
\]
\[
F_3 \leftarrow F_3 - F_1
\]
Y obtenemos:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]
El determinante de esta nueva matriz es el mismo que el de la original, pero ahora resulta mucho más fácil de calcular.
Propiedad 7. El determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal
Si la matriz es triangular superior o triangular inferior, entonces:
\[
\det(A)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot \ldots \cdot a_{nn}
\]
Ejemplo:
\[
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & -1 & 4\\
0 & 0 & 5
\end{vmatrix}
=2\cdot(-1)\cdot5=-10
\]
Esta propiedad es clave cuando se simplifica una matriz por Gauss hasta dejarla triangular.
Propiedad 8. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta
El determinante de una matriz no cambia si se intercambian filas por columnas, es decir:
\[
\det(A)=\det(A^T)
\]
Ejemplo:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\qquad
A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{pmatrix}
\]
\[
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2
\]
\[
\det(A^T)=1\cdot4-3\cdot2=-2
\]
Por tanto, ambos determinantes coinciden.
Propiedad 9. Linealidad respecto a una fila o columna
Si los elementos de una fila (o columna) se expresan como suma de dos términos, el determinante se puede separar como suma de dos determinantes.
Importante: esta propiedad solo se puede aplicar cuando la suma está en una única fila o columna completa. No se puede aplicar a elementos sueltos.
Es decir, si en una fila ocurre:
\[
(a+b,\; c+d,\; e+f)
\]
entonces:
\[
\det(A)=\det(A_1)+\det(A_2)
\]
donde:
- \(A_1\) contiene solo los primeros sumandos
- \(A_2\) contiene solo los segundos sumandos
Ejemplo:
\[
\begin{vmatrix}
1+2 & 1+2\\
4 & 5
\end{vmatrix} = (3 \cdot 5) - (4 \cdot 3) = 3
\]
Se descompone como:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1\\
4 & 5
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
2 & 2\\
4 & 5
\end{vmatrix} = 1 + 2 = 3
\]
Esta propiedad es muy útil para simplificar determinantes o separarlos en partes más fáciles de calcular.
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Qué debes recordar
Resumen final
- Las propiedades de los determinantes permiten simplificar cálculos y evitar operaciones innecesarias.
- Detectar cuándo un determinante vale cero es tan importante como saber calcularlo.
- Las operaciones tipo Gauss son muy útiles porque conservan el determinante.
- Si una matriz queda triangular, el determinante se obtiene multiplicando la diagonal.
- Dominar estas propiedades ahorra mucho tiempo en ejercicios de PAU.