Matemáticas II · Álgebra · Tema 07

Rango de una matriz

Comprende qué mide el rango y aprende a calcularlo mediante menores y mediante el método de Gauss.

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Medir cuántas filas o columnas aportan información independiente

El rango conecta matrices, determinantes y sistemas. Puede interpretarse como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes.

1Interpretar \(\operatorname{rg}(A)\)
2Calcularlo por menores
3Calcularlo por Gauss
01
Definición

Qué es el rango

El rango de una matriz \(A\), representado por \(\operatorname{rg}(A)\), es el máximo orden de sus menores no nulos.

\[ \boxed{ \operatorname{rg}(A) = \text{máximo orden de un menor no nulo}} \]

De forma equivalente, el rango es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes.

\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)\le\min(m,n)} \]
02
Interpretación

Posibles valores del rango

0Matriz nula
1Una dirección independiente
2Dos direcciones independientes
\(\min(m,n)\)Rango máximo
! El rango no es simplemente el número de filas. Una matriz puede tener muchas filas y, sin embargo, ser varias de ellas combinaciones de las demás.
03
Dos procedimientos

Cómo calcular el rango

Por menores

Se localiza un menor no nulo del mayor orden posible. Si existe uno de orden \(r\) y todos los de orden superior son nulos, el rango es \(r\).

\[ \operatorname{rg}(A)=r \]

Por Gauss

Se aplican operaciones elementales por filas hasta obtener una forma escalonada. El rango es el número de filas no nulas.

\[ \operatorname{rg}(A) = \text{número de filas no nulas} \]
04
Método por determinantes

Cálculo por menores

Ejemplo 1 · Matriz de orden 3

Calcula el rango de

\[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \]

1. Buscamos un menor de orden 2 no nulo.

\[ \begin{vmatrix} 1&2\\ 1&1 \end{vmatrix} = 1\cdot1-2\cdot1 = -1\neq0 \]
\[ \operatorname{rg}(A)\ge2 \]

2. Estudiamos el determinante completo.

La segunda fila es el doble de la primera, por lo que:

\[ |A|=0 \]
\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)=2} \]
05
Método de escalonamiento

Cálculo por Gauss

Ejemplo 2 · La misma matriz
\[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \]

Aplicamos:

\[ F_2\to F_2-2F_1, \qquad F_3\to F_3-F_1 \]
\[ A\sim \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&0&0\\ 0&-1&-3 \end{pmatrix} \]

Reordenamos las filas:

\[ A\sim \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-1&-3\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]

Quedan dos filas no nulas:

\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)=2} \]
06
Rango máximo

Matrices cuadradas e invertibilidad

\[ \boxed{ \operatorname{rg}(A)=n \iff |A|\neq0 \iff A^{-1}\text{ existe}} \]
Ejemplo 3 · Rango 3
\[ B= \begin{pmatrix} 1&0&2\\ 0&1&3\\ 2&1&0 \end{pmatrix} \]
\[ |B|=-7\neq0 \]
\[ \boxed{\operatorname{rg}(B)=3} \]
07
No hace falta que sea cuadrada

Rango de una matriz rectangular

Ejemplo 4 · Matriz \(3\times4\)
\[ C= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 2&4&6&8\\ 0&1&1&0 \end{pmatrix} \]

Aplicamos \(F_2\to F_2-2F_1\):

\[ C\sim \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 0&0&0&0\\ 0&1&1&0 \end{pmatrix} \]

Hay dos filas no nulas:

\[ \boxed{\operatorname{rg}(C)=2} \]
08
Rango según un parámetro

Estudio por casos

Ejemplo 5 · Parámetro

Calcula el rango según el valor de \(a\)

\[ A(a)= \begin{pmatrix} 1&2&0\\ 2&4&0\\ 0&0&a \end{pmatrix} \]

La segunda fila es el doble de la primera.

Si \(a\neq0\):

\[ \begin{vmatrix} 1&0\\ 0&a \end{vmatrix} =a\neq0 \]
\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)=2} \]

Si \(a=0\):

\[ A(0)= \begin{pmatrix} 1&2&0\\ 2&4&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]
\[ \boxed{\operatorname{rg}(A)=1} \]
09
Conservación del rango

Operaciones elementales

Las operaciones elementales por filas no modifican el rango:

Intercambiar filas

\[F_i\leftrightarrow F_j\]

Multiplicar por \(k\neq0\)

\[F_i\to kF_i\]

Sumar un múltiplo

\[F_i\to F_i+kF_j\]
10
Conexión con los temas siguientes

Rango y sistemas de ecuaciones

En el teorema de Rouché-Frobenius se comparará el rango de la matriz de coeficientes \(A\) con el rango de la matriz ampliada \(A^*\).

\[ \operatorname{rg}(A) \quad\text{y}\quad \operatorname{rg}(A^*) \]
i El rango permitirá decidir si un sistema tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna.
11
Biblioteca PAU

Practica rangos y parámetros

Práctica recomendada:

En la biblioteca puedes localizar ejercicios de rango, matrices inversas y discusión de sistemas con parámetros, incluidos problemas oficiales de Castilla y León.

Abrir la biblioteca de problemas de Matemáticas II →
Qué debes recordar

El rango mide independencia, no cantidad de filas

Por menores se busca el mayor determinante no nulo. Por Gauss se cuenta el número de filas no nulas de una forma escalonada.

DefiniciónMayor orden de un menor no nulo.
GaussNúmero de filas no nulas.
Máximo\(\operatorname{rg}(A)\le\min(m,n)\).
InversaEn orden \(n\), rango \(n\) equivale a invertibilidad.

Errores frecuentes

Contar todas las filasSolo cuentan las filas independientes o no nulas tras escalonar.
Concluir rango 2 con un solo menorUn menor de orden 2 no nulo demuestra rango al menos 2, no necesariamente exactamente 2.
Buscar el determinante de una matriz rectangularEn matrices no cuadradas se trabajan menores o se utiliza Gauss.

Resumen del tema

El rango es el número máximo de filas o columnas independientes. Puede calcularse mediante menores o mediante Gauss. En una matriz cuadrada, el rango máximo equivale a tener determinante no nulo e inversa.

Debes saber

  • Interpretar el rango.
  • Calcularlo por menores.
  • Escalonar por Gauss.
  • Estudiarlo con parámetros.
  • Relacionarlo con la inversa.
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