Rango de una matriz

¿Qué es el rango de una matriz?

El rango de una matriz \(A\), que se representa por \(\operatorname{rg}(A)\), es el mayor orden de sus menores no nulos.

De forma intuitiva:

• si una matriz tiene rango 1, sus filas o columnas dependen mucho unas de otras;
• si tiene rango 2, hay dos filas o columnas independientes;
• cuanto mayor es el rango, “más información” contiene la matriz.

El rango nunca puede superar el menor entre el número de filas y el de columnas.

\[
\operatorname{rg}(A)\leq \min(m,n)
\]

Cómo se calcula el rango

En Bachillerato se suelen usar dos caminos:

• por determinantes o menores: buscando el mayor menor no nulo;
• por Gauss: simplificando la matriz hasta contar cuántas filas no nulas quedan.

El segundo método suele ser más rápido y más útil en matrices medianas o grandes.

Cálculo del rango por menores

Si una matriz tiene un menor de orden 2 distinto de cero, entonces su rango es al menos 2. Si además todos los menores de orden 3 valen cero, entonces su rango será exactamente 2.

Ejemplo:

\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Tomamos este menor de orden 2:

\[
\begin{vmatrix}
1 & 2\\
1 & 1
\end{vmatrix}
=1\cdot1-2\cdot1=-1\neq0
\]

Por tanto, \(\operatorname{rg}(A)\geq2\).

Ahora calculamos el determinante completo:

\[
\det(A)=
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}
\]

Como la segunda fila es el doble de la primera, este determinante vale 0. Luego no hay menores de orden 3 no nulos y, por tanto:

\[
\operatorname{rg}(A)=2
\]

Cálculo del rango por Gauss

Este método consiste en aplicar operaciones elementales por filas hasta obtener una matriz escalonada. El rango será el número de filas no nulas que queden.

Ejemplo 1:

\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
2 & 4 & 2\\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Aplicamos:

\[
F_2 \leftarrow F_2-2F_1,\qquad
F_3 \leftarrow F_3-F_1
\]

Y queda:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\]

Reordenando filas si queremos:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Hay dos filas no nulas, así que:

\[
\operatorname{rg}(A)=2
\]

Ejemplo 2: rango máximo

\[
B=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 3\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Calculamos su determinante:

\[
\det(B)=
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 3\\
2 & 1 & 0
\end{vmatrix}
\]

Por Sarrus:

\[
\det(B)=1\cdot1\cdot0 + 0\cdot3\cdot2 + 2\cdot0\cdot1
-
(2\cdot1\cdot2 + 0\cdot0\cdot0 + 1\cdot3\cdot1)
\]

\[
=0+0+0-(4+0+3)=-7\neq0
\]

Como el determinante es distinto de cero, el rango es máximo:

\[
\operatorname{rg}(B)=3
\]

Ejemplo 3: matriz rectangular

\[
C=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 4 & 6 & 8\\
0 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Aplicamos:

\[
F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1
\]

Y obtenemos:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Hay dos filas no nulas, luego:

\[
\operatorname{rg}(C)=2
\]

Relación entre rango e inversa

Si una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene rango \(n\), entonces es invertible.

\[
\operatorname{rg}(A)=n \iff \det(A)\neq0 \iff A^{-1}\text{ existe}
\]

Por eso el rango es tan importante: permite saber si una matriz tiene inversa y, más adelante, si un sistema tiene solución única.

Error típico

Un error frecuente es pensar que el rango es simplemente el número de filas de la matriz. No es así: depende de cuántas sean realmente independientes.

Por ejemplo, en

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{pmatrix}
\]

hay dos filas, pero la segunda es el doble de la primera, así que el rango es 1, no 2.

Resumen final

• El rango mide la independencia de las filas o columnas de una matriz.
• Puede calcularse por menores o por Gauss.
• En una matriz escalonada, el rango es el número de filas no nulas.
• Si una matriz cuadrada tiene rango máximo, entonces es invertible.
• El rango es la base para estudiar sistemas de ecuaciones en Bachillerato y PAU.