Matemáticas II · Álgebra · Tema 06

Ecuaciones matriciales

Aprende a despejar una matriz incógnita respetando el orden de los factores, utilizando matrices inversas y comprobando siempre el resultado.

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Despejar matrices sin cambiar el orden de los factores

En una ecuación matricial la incógnita es una matriz. No existe una división de matrices, por lo que para despejar se multiplica por matrices inversas en el lado adecuado.

1Identificar dónde aparece \(X\)

2Multiplicar por la inversa en el lado correcto

3Comprobar sustituyendo

Definición

Qué es una ecuación matricial

Una ecuación matricial es una igualdad en la que la incógnita es una matriz. Para resolverla se utilizan operaciones matriciales, propiedades del producto y matrices inversas.

\[ AX=B,\qquad XA=B,\qquad AXB=C \]

! El producto de matrices no es conmutativo. No puede cambiarse libremente el orden de los factores durante el despeje.

Herramienta principal

Inversa e identidad

Matriz inversa

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]

Matriz identidad

\[ IX=XI=X \]

Para utilizar \(A^{-1}\), la matriz \(A\) debe ser cuadrada y cumplir:

\[ \boxed{|A|\neq0} \]

Tres formas básicas

El lado de multiplicación

Tipo \(AX=B\)

\(A\) multiplica a \(X\) por la izquierda.

\[ \boxed{X=A^{-1}B} \]

Tipo \(XA=B\)

\(A\) multiplica a \(X\) por la derecha.

\[ \boxed{X=BA^{-1}} \]

Tipo \(AXB=C\)

Hay una matriz a cada lado de \(X\).

\[ \boxed{X=A^{-1}CB^{-1}} \]

Premultiplicar

Ecuaciones del tipo \(AX=B\)

Ejemplo 1 · \(AX=B\)

Resuelve la ecuación

\[ \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 3&1\\ 5&2 \end{pmatrix} \]

1. Identificamos las matrices.

\[ A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 3&1\\ 5&2 \end{pmatrix} \]

2. Calculamos la inversa de \(A\).

\[ |A|=1\cdot2-1\cdot1=1 \]

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2&-1\\ -1&1 \end{pmatrix} \]

3. Premultiplicamos por \(A^{-1}\).

\[ A^{-1}AX=A^{-1}B \Longrightarrow X=A^{-1}B \]

\[ X= \begin{pmatrix} 2&-1\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&1\\ 5&2 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix}} \]

Postmultiplicar

Ecuaciones del tipo \(XA=B\)

Ejemplo 2 · \(XA=B\)

Resuelve la ecuación

\[ X \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&3\\ 1&4 \end{pmatrix} \]

La matriz \(A\) está a la derecha de \(X\), por lo que multiplicamos por \(A^{-1}\) a la derecha:

\[ XAA^{-1}=BA^{-1} \Longrightarrow X=BA^{-1} \]

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} \]

\[ X= \begin{pmatrix} 2&3\\ 1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&3 \end{pmatrix}} \]

! En \(XA=B\) no puede escribirse \(X=A^{-1}B\). La inversa debe colocarse a la derecha: \(X=BA^{-1}\).

Inversas a ambos lados

Ecuaciones del tipo \(AXB=C\)

Ejemplo 3 · \(AXB=C\)

Resuelve

\[ \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&1 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&3\\ 1&4 \end{pmatrix} \]

Multiplicamos por \(A^{-1}\) a la izquierda y por \(B^{-1}\) a la derecha:

\[ X=A^{-1}CB^{-1} \]

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix}, \qquad B^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} \]

\[ X= \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3\\ 1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix}} \]

Agrupar términos

Sacar factor común matricial

\(AX+BX=C\)

\[ (A+B)X=C \]

\[ \boxed{X=(A+B)^{-1}C} \]

\(XA+XB=C\)

\[ X(A+B)=C \]

\[ \boxed{X=C(A+B)^{-1}} \]

i Solo puede sacarse factor común cuando \(X\) aparece en el mismo lado en todos los términos. No puede transformarse \(AX+XB\) en \((A+B)X\).

Control previo

Dimensiones de la matriz incógnita

Las dimensiones permiten saber si una ecuación está bien planteada y qué tamaño debe tener \(X\).

Ejemplo 4 · Determinar el orden de \(X\)

Si \(A\) es de orden \(2\times3\) y \(AX=B\) es de orden \(2\times4\), entonces:

\[ (2\times3)(3\times4)=(2\times4) \]

\[ \boxed{X\text{ debe ser de orden }3\times4} \]

Verificación

Comprobar la solución

Para comprobar una ecuación matricial se sustituye la matriz obtenida en la igualdad original y se realizan los productos en el mismo orden.

\[ \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&1\\ 5&2 \end{pmatrix} \]

Biblioteca PAU

Ejercicios relacionados

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de operaciones con matrices, matrices inversas y ecuaciones matriciales. También puedes practicar el ejercicio de matrices de la PAU de Castilla y León 2026.

Abrir la biblioteca de problemas de Matemáticas II →

Qué debes recordar

La inversa se coloca en el lado donde permite formar la identidad

En \(AX=B\) se multiplica por la izquierda. En \(XA=B\) se multiplica por la derecha. El orden de los factores debe mantenerse en todos los pasos.

\(AX=B\)\(X=A^{-1}B\).

\(XA=B\)\(X=BA^{-1}\).

\(AXB=C\)\(X=A^{-1}CB^{-1}\).

ComprobaciónSustituye en la ecuación original.

Errores frecuentes

Cambiar el orden de los factoresLas matrices no conmutan en general.

Usar una inversa que no existeAntes de invertir, comprueba que el determinante no sea cero.

No comprobar dimensionesEl tamaño de \(X\) debe ser compatible con todos los productos.

Resumen del tema

Las ecuaciones matriciales se resuelven mediante inversas, respetando el lado en el que cada matriz multiplica a la incógnita. La solución debe tener las dimensiones correctas y comprobarse en la igualdad inicial.

Debes saber

Identificar la posición de \(X\).
Comprobar que existe la inversa.
Despejar por el lado correcto.
Sacar factor común matricial.
Comprobar la solución.