Discusión de sistemas · Teorema de Rouché-Frobenius
Método teórico basado en rangos para clasificar sistemas: compatible determinado, indeterminado o incompatible.
Teorema de Rouché-Frobenius
Sea un sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes \(A\) y matriz ampliada \(A^*\).
Entonces:
- Si \(rg(A)=rg(A^*)=n\) → SCD
- Si \(rg(A)=rg(A^*)
- Si \(rg(A)\neq rg(A^*)\) → SI
donde \(n\) es el número de incógnitas.
Clave del método
Todo se reduce a calcular rangos mediante determinantes y, sobre todo, saber orlar menores.
Qué significa “orlar un menor”
Orlar un menor consiste en:
- Encontrar un menor no nulo
- Añadir una fila y una columna para intentar construir uno de orden superior
Si el nuevo determinante es distinto de cero → aumenta el rango.
Si todos los determinantes orlados son cero → el rango se queda.
Ejemplo 1: discusión de un sistema homogéneo con parámetro
Discute el sistema según el valor del parámetro \(a\):
\[ \begin{cases} x-y+az=0\\ x-z=0\\ 2x+ay-2z=0 \end{cases} \]
1. Matriz de coeficientes
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & a\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & a & -2 \end{pmatrix} \]
2. Determinante de la matriz de coeficientes
Calculamos el determinante por Sarrus:
\[ |A|= \begin{vmatrix} 1 & -1 & a\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & a & -2 \end{vmatrix} \]
\[ |A|=1\cdot 0\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)\cdot 2+a\cdot 1\cdot a -\Bigl(a\cdot 0\cdot 2+(-1)\cdot 1\cdot(-2)+1\cdot(-1)\cdot a\Bigr) \]
\[ |A|=0+2+a^2-(0+2-a) \]
\[ |A|=a^2+a=a(a+1) \]
3. Primer caso: \(a(a+1)\neq 0\)
Si
\[ a\neq 0 \quad \text{y} \quad a\neq -1 \]
entonces
\[ |A|\neq 0 \]
Por tanto,
\[ rg(A)=3 \]
y como el sistema tiene 3 incógnitas:
el sistema es compatible determinado (SCD).
Además, como es un sistema homogéneo, su única solución es la trivial:
\[ x=0,\qquad y=0,\qquad z=0 \]
Sabemos que un sistema homogéneo siempre tiene solución, es decir, siempre será SCD o SCI y nunca SI. De todas maneras, haremos la discusión entera de los otros casos.
4. Segundo caso: \(a=0\)
Sustituimos \(a=0\) en el sistema:
\[ \begin{cases} x-y=0\\ x-z=0\\ 2x-2z=0 \end{cases} \]
La matriz de coeficientes queda:
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]
Como \(|A|=0\), el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2:
\[ \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{vmatrix} =1\neq 0 \]
Luego:
\[ rg(A)\geq 2 \]
Y como el determinante de orden 3 vale 0:
\[ rg(A)=2 \]
Al ser un sistema homogéneo, la matriz ampliada tiene el mismo rango:
\[ rg(A^*)=rg(A)=2 \]
Como
\[ rg(A)=rg(A^*)=2<3 \]
el sistema es compatible indeterminado (SCI).
5. Tercer caso: \(a=-1\)
Sustituimos \(a=-1\):
\[ \begin{cases} x-y-z=0\\ x-z=0\\ 2x-y-2z=0 \end{cases} \]
La matriz de coeficientes queda:
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \]
De nuevo, como \(|A|=0\), el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2:
\[ \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{vmatrix} =1\neq 0 \]
Luego:
\[ rg(A)\geq 2 \]
y como el determinante de orden 3 vale 0:
\[ rg(A)=2 \]
Al ser homogéneo:
\[ rg(A^*)=rg(A)=2 \]
Así que:
\[ rg(A)=rg(A^*)=2<3 \]
el sistema es compatible indeterminado (SCI).
6. Conclusión final
- Si \(a\neq 0\) y \(a\neq -1\) → SCD
- Si \(a=0\) → SCI
- Si \(a=-1\) → SCI
Importante: al ser un sistema homogéneo, nunca puede ser incompatible, porque siempre admite al menos la solución trivial.
Ejemplo 2: discusión de un sistema con parámetro
Discute el sistema según el valor del parámetro \(\lambda\):
\[ \begin{cases} \lambda x + z = 1\\ x + y + \lambda z = 1\\ x - y + z = 1 \end{cases} \]
1. Matriz de coeficientes
\[ A= \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 1\\ 1 & 1 & \lambda\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
2. Determinante de la matriz de coeficientes
Calculamos el determinante por Sarrus:
\[ |A|= \begin{vmatrix} \lambda & 0 & 1\\ 1 & 1 & \lambda\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ |A| = \lambda\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot \lambda\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot (-1) - \Bigl(1\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 1\cdot 1 + \lambda\cdot \lambda\cdot (-1)\Bigr) \]
\[ |A|=\lambda+0-1-(1+0-\lambda^2) \]
\[ |A|=\lambda^2+\lambda-2 \]
\[ |A|=(\lambda-1)(\lambda+2) \]
3. Primer caso: \(\lambda \neq 1\) y \(\lambda \neq -2\)
Si
\[ |A|\neq 0 \]
entonces
\[ rg(A)=3 \]
Como hay 3 incógnitas, el sistema es:
compatible determinado (SCD).
4. Segundo caso: \(\lambda=1\)
Sustituimos en el sistema:
\[ \begin{cases} x+z=1\\ x+y+z=1\\ x-y+z=1 \end{cases} \]
Matriz de coeficientes
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
Sabemos que \(|A|=0\), así que buscamos un menor de orden 2.
\[ \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1\neq 0 \]
Por tanto:
\[ rg(A)=2 \]
Matriz ampliada
\[ A^*= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
Ahora orlamos el menor anterior con la columna ampliada:
\[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]
Observa que la primera y la tercera columna son iguales:
\[ \begin{pmatrix} \color{blue}{1} & 0 & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{1} & 1 & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{1} & -1 & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \]
Por tanto, su determinante es:
\[ 0 \]
Luego:
\[ rg(A^*)=2 \]
Conclusión
\[ rg(A)=rg(A^*)=2 < 3 \]
El sistema es: compatible indeterminado (SCI).
5. Tercer caso: \(\lambda=-2\)
Sustituimos en el sistema:
\[ \begin{cases} -2x+z=1\\ x+y-2z=1\\ x-y+z=1 \end{cases} \]
La matriz de coeficientes es:
\[ A= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -2\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
Como el determinante de orden 3 vale 0, buscamos un menor de orden 2. Por ejemplo:
\[ \begin{vmatrix} -2 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =-2\neq 0 \]
Luego:
\[ rg(A)=2 \]
Ahora estudiamos la matriz ampliada:
\[ A^*= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
Orlamos el menor anterior con la columna ampliada:
\[ \begin{vmatrix} -2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]
Calculamos por Sarrus:
\[ (-2)\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot (-1) - \bigl(1\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 1\cdot (-1) + (-2)\cdot 1\cdot (-1)\bigr) \]
\[ =-2+0-1-(1+0+2)=-3-3=-6 \neq 0 \]
Por tanto:
\[ rg(A^*)=3 \]
Como
\[ rg(A)\neq rg(A^*) \]
el sistema es: incompatible (SI).
6. Conclusión final
- Si \(\lambda\neq 1\) y \(\lambda\neq -2\) → SCD
- Si \(\lambda=1\) → SCI
- Si \(\lambda=-2\) → SI
Resumen del método con parámetro
- Primero: determinante
- Si vale 0 → buscar menores
- Después: ORLAR con la ampliada
- Comparar rangos
Qué debes recordar
- Siempre calcula primero el determinante
- Si es 0 → busca menores
- Usa ORLAR para subir el rango
- Compara siempre A y A*