Matemáticas II · Álgebra · Tema 08

Discusión y resolución de sistemas por Gauss

Aprende a escalonar la matriz ampliada, interpretar las filas finales y clasificar un sistema como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

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Transformar el sistema sin cambiar sus soluciones

El método de Gauss sustituye el sistema original por otro equivalente y escalonado. La forma final permite decidir cuántas soluciones existen y, cuando procede, obtenerlas mediante sustitución regresiva.

1Construir la matriz ampliada

2Escalonar con operaciones elementales

3Clasificar y resolver el sistema

Procedimiento

Método de Gauss

Un sistema lineal se representa mediante su matriz ampliada. Después se crean ceros por debajo de los pivotes hasta obtener una forma escalonada.

Paso 1Matriz

Construye \(A^*\)

Coloca los coeficientes y añade la columna de términos independientes.

Paso 2Escalonamiento

Crea ceros

Utiliza pivotes y operaciones elementales por filas.

Paso 3Lectura

Clasifica y resuelve

Interpreta las filas finales y realiza sustitución regresiva.

Sistemas equivalentes

Operaciones elementales por filas

Intercambiar filas

\[ F_i\leftrightarrow F_j \]

Multiplicar por \(k\neq0\)

\[ F_i\longrightarrow kF_i \]

Sumar un múltiplo de otra fila

\[ F_i\longrightarrow F_i+kF_j \]

i Estas operaciones transforman el sistema en otro equivalente: cambian su aspecto, pero no el conjunto de soluciones.

Lectura de la matriz escalonada

Tipos de sistemas

Sistema compatible determinado

Existe un pivote para cada incógnita y no aparece ninguna contradicción.

\[ \boxed{\text{Una única solución}} \]

Sistema compatible indeterminado

Aparecen menos pivotes que incógnitas y una o varias variables quedan libres.

\[ \boxed{\text{Infinitas soluciones}} \]

Sistema incompatible

Aparece una fila que expresa una igualdad imposible.

\[ \boxed{(0\ 0\ \cdots\ 0\mid c),\quad c\neq0} \]

Ejemplo completo

Sistema compatible determinado

Ejemplo 1 · Solución única

Resuelve mediante Gauss

\[ \begin{cases} x+y+z=6,\\ 2x-y+z=3,\\ x+2y-z=2. \end{cases} \]

1. Matriz ampliada.

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 2&-1&1&3\\ 1&2&-1&2 \end{array} \right) \]

2. Eliminamos la primera incógnita.

\[ F_2\to F_2-2F_1, \qquad F_3\to F_3-F_1 \]

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-3&-1&-9\\ 0&1&-2&-4 \end{array} \right) \]

3. Intercambiamos \(F_2\) y \(F_3\) y eliminamos \(y\).

\[ F_2\leftrightarrow F_3, \qquad F_3\to F_3+3F_2 \]

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-2&-4\\ 0&0&-7&-21 \end{array} \right) \]

4. Sustitución regresiva.

\[ -7z=-21\Longrightarrow z=3 \]

\[ y-2z=-4\Longrightarrow y=2 \]

\[ x+y+z=6\Longrightarrow x=1 \]

\[ \boxed{(x,y,z)=(1,2,3)} \]

Variables libres

Sistema compatible indeterminado

Ejemplo 2 · Infinitas soluciones

\[ \begin{cases} x+y+z=3,\\ 2x+2y+2z=6,\\ x-y+z=1. \end{cases} \]

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 2&2&2&6\\ 1&-1&1&1 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&0&0&0\\ 0&-2&0&-2 \end{array} \right) \]

La segunda fila no aporta una ecuación nueva. De la tercera fila:

\[ -2y=-2\Longrightarrow y=1 \]

Tomamos \(z=t\) como variable libre:

\[ x+1+t=3\Longrightarrow x=2-t \]

\[ \boxed{(x,y,z)=(2-t,1,t),\quad t\in\mathbb{R}} \]

Contradicción

Sistema incompatible

Ejemplo 3 · Sin solución

\[ \begin{cases} x+y+z=3,\\ 2x+2y+2z=7,\\ x-y+z=1. \end{cases} \]

Aplicando \(F_2\to F_2-2F_1\) aparece:

\[ (0\ 0\ 0\mid1) \]

\[ 0=1 \]

\[ \boxed{\text{El sistema es incompatible}} \]

Discusión por casos

Sistema con parámetro

Ejemplo 4 · Clasificación según \(a\)

\[ \begin{cases} x+y+z=1,\\ 2x+2y+2z=2,\\ x+y+z=a. \end{cases} \]

Restamos la primera ecuación a la tercera:

\[ (0\ 0\ 0\mid a-1) \]

Si \(a=1\)

La fila es nula y solo queda una ecuación independiente.

\[ \boxed{\text{SCI}} \]

Si \(a\neq1\)

Aparece la contradicción \(0=a-1\neq0\).

\[ \boxed{\text{SI}} \]

Biblioteca PAU

Practica sistemas y parámetros

Práctica recomendada:

Abre la biblioteca de Matemáticas II y utiliza los filtros del bloque Álgebra para localizar sistemas lineales, problemas con parámetros y ejercicios contextualizados.

Abrir la biblioteca de problemas →

Qué debes recordar

La última fila puede decidir todo el sistema

Una fila nula puede generar variables libres. Una fila \((0\ \cdots\ 0\mid c)\), con \(c\neq0\), representa una contradicción y convierte el sistema en incompatible.

SCDUna única solución.

SCIVariables libres e infinitas soluciones.

SIAparece una contradicción.

ResolverSustitución regresiva desde la última fila.

Errores frecuentes

Modificar solo una parte de una filaLa operación debe aplicarse también al término independiente.

Confundir fila nula con contradicción\((0\ 0\ 0\mid0)\) no es lo mismo que \((0\ 0\ 0\mid c)\).

No introducir parámetros libresEn un SCI hay que expresar la solución en función de una o varias variables libres.

Resumen del tema

Gauss transforma la matriz ampliada en una forma escalonada equivalente. La lectura de los pivotes y de las filas finales permite clasificar el sistema y obtener sus soluciones.

Debes saber

Construir la matriz ampliada.
Aplicar operaciones elementales.
Reconocer SCD, SCI y SI.
Usar variables libres.
Resolver por sustitución regresiva.