3A – Recta contenida en un plano
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dado el plano
\[
\pi \equiv x+y=0,
\]
el punto
\[
A(1,-1,0)
\]
y la recta
\[
s\equiv x=y=z,
\]
hallar la recta \(r\), en forma paramétrica, que pasa por \(A\), está contenida en \(\pi\) y corta a la recta \(s\). (2,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Buscamos una recta \(r\) que cumpla tres condiciones:
- Pasa por el punto \(A(1,-1,0)\).
- Está contenida en el plano \(\pi \equiv x+y=0\).
- Corta a la recta \(s\equiv x=y=z\).
Primero comprobamos que el punto \(A\) pertenece al plano:
\[
1+(-1)=0
\]
Por tanto, \(A\in\pi\).
Como \(r\) está contenida en \(\pi\) y corta a \(s\), el punto de corte entre \(r\) y \(s\) debe ser un punto común a la recta \(s\) y al plano \(\pi\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría en el espacio.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Recta en forma paramétrica.
- Pertenencia de un punto a un plano.
- Intersección de una recta y un plano.
- Vector director de una recta a partir de dos puntos.
La idea clave es encontrar primero el punto donde la recta \(s\) corta al plano \(\pi\). Después, la recta buscada será la que une ese punto con \(A\).
🟢 Estrategia de resolución
La recta \(s\equiv x=y=z\) puede escribirse en forma paramétrica como:
\[
s:
\begin{cases}
x=t\\
y=t\\
z=t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}
\]
Para saber dónde corta \(s\) al plano \(\pi\), sustituimos estas coordenadas en la ecuación del plano:
\[
x+y=0
\]
Una vez encontrado ese punto de corte, la recta \(r\) debe pasar por ese punto y por \(A(1,-1,0)\).
Con esos dos puntos calcularemos un vector director de \(r\) y escribiremos sus ecuaciones paramétricas.
🟣 Resolución paso a paso
Recta buscada
Escribimos la recta \(s\equiv x=y=z\) en forma paramétrica:
\[
s:
\begin{cases}
x=t\\
y=t\\
z=t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}
\]
Buscamos el punto en el que \(s\) corta al plano \(\pi\equiv x+y=0\).
Sustituimos:
\[
x=t,\qquad y=t
\]
en la ecuación del plano:
\[
x+y=0
\]
Entonces:
\[
t+t=0
\]
\[
2t=0
\]
\[
t=0
\]
Por tanto, el punto de corte entre \(s\) y \(\pi\) es:
\[
O=(0,0,0)
\]
La recta \(r\) debe pasar por:
- \(A(1,-1,0)\)
- \(O(0,0,0)\)
Calculamos un vector director de \(r\):
\[
\vec v=\overrightarrow{OA}=A-O=(1,-1,0)
\]
Por tanto, una ecuación paramétrica de \(r\) es:
\[
r:
\begin{cases}
x=\lambda\\
y=-\lambda\\
z=0
\end{cases}
\qquad \lambda\in\mathbb{R}
\]
Comprobamos que esta recta está contenida en el plano \(\pi\):
\[
x+y=\lambda+(-\lambda)=0
\]
Además, para \(\lambda=1\), obtenemos:
\[
(1,-1,0)=A
\]
y para \(\lambda=0\), obtenemos:
\[
(0,0,0)
\]
que pertenece a la recta \(s\).
Respuesta:
\[
\boxed{
r:
\begin{cases}
x=\lambda\\
y=-\lambda\\
z=0
\end{cases}
\qquad \lambda\in\mathbb{R}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Si una recta está contenida en un plano y corta a otra recta, el punto de corte debe pertenecer también al plano.
- La recta \(x=y=z\) puede parametrizarse como \((t,t,t)\).
- Para hallar la intersección de una recta con un plano se sustituyen las coordenadas paramétricas en la ecuación del plano.
- Una recta queda determinada por dos puntos distintos.
- El vector director de una recta puede obtenerse restando las coordenadas de dos puntos de la recta.