4A – Accidente en día nublado o seco
Castilla y León · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en día nublado es \(0,09\) y en día seco \(0,005\).
Durante un periodo de 10 días ha habido 7 días secos y 3 nublados. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días, se pide:
- Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado. (1,25 puntos)
- Hallar la probabilidad de que fuera en día seco. (1,25 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos dos tipos de días:
- Día nublado: 3 de los 10 días.
- Día seco: 7 de los 10 días.
Las probabilidades de accidente dependen del tipo de día:
\[
P(A/N)=0,09
\]
\[
P(A/S)=0,005
\]
La frase “sabiendo que se ha producido un accidente” indica que debemos usar probabilidad condicionada y el teorema de Bayes.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Probabilidad condicionada.
- Teorema de la probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
- Sucesos complementarios.
Primero calculamos la probabilidad total de accidente:
\[
P(A)=P(N)P(A/N)+P(S)P(A/S)
\]
Después usamos Bayes para calcular \(P(N/A)\) y \(P(S/A)\).
🟢 Estrategia de resolución
Definimos los sucesos:
- \(N\): el día es nublado.
- \(S\): el día es seco.
- \(A\): se produce un accidente.
Del enunciado obtenemos:
\[
P(N)=\frac{3}{10}
\qquad
P(S)=\frac{7}{10}
\]
\[
P(A/N)=0,09
\qquad
P(A/S)=0,005
\]
Como sabemos que ha habido accidente, debemos invertir la condición:
\[
P(N/A)=\frac{P(N)P(A/N)}{P(A)}
\]
y de forma análoga:
\[
P(S/A)=\frac{P(S)P(A/S)}{P(A)}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Probabilidad total de accidente
Calculamos primero la probabilidad de que se produzca un accidente:
\[
P(A)=P(N)P(A/N)+P(S)P(A/S)
\]
Sustituimos:
\[
P(A)=\frac{3}{10}\cdot0,09+\frac{7}{10}\cdot0,005
\]
\[
P(A)=0,027+0,0035
\]
\[
P(A)=0,0305
\]
a) Probabilidad de que el accidente fuera en día nublado
Nos piden:
\[
P(N/A)
\]
Aplicamos el teorema de Bayes:
\[
P(N/A)=\frac{P(N)P(A/N)}{P(A)}
\]
Sustituimos:
\[
P(N/A)=\frac{\frac{3}{10}\cdot0,09}{0,0305}
\]
\[
P(N/A)=\frac{0,027}{0,0305}
\]
\[
P(N/A)=\frac{54}{61}
\]
\[
P(N/A)\approx0,885
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P(N/A)=\frac{54}{61}\approx0,885}
\]
Es decir, aproximadamente:
\[
\boxed{88,5\%}
\]
b) Probabilidad de que el accidente fuera en día seco
Nos piden:
\[
P(S/A)
\]
Aplicamos Bayes:
\[
P(S/A)=\frac{P(S)P(A/S)}{P(A)}
\]
Sustituimos:
\[
P(S/A)=\frac{\frac{7}{10}\cdot0,005}{0,0305}
\]
\[
P(S/A)=\frac{0,0035}{0,0305}
\]
\[
P(S/A)=\frac{7}{61}
\]
\[
P(S/A)\approx0,115
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P(S/A)=\frac{7}{61}\approx0,115}
\]
Es decir, aproximadamente:
\[
\boxed{11,5\%}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cuando el enunciado dice “sabiendo que”, aparece una probabilidad condicionada.
- La probabilidad total suma todos los caminos que pueden producir el accidente.
- Bayes permite invertir la condición: pasar de \(P(A/N)\) a \(P(N/A)\).
- Aunque haya más días secos, el accidente es mucho más probable en día nublado.
- Las probabilidades finales deben sumar 1: \(\frac{54}{61}+\frac{7}{61}=1\).