4A – Parque con zona circular y cuadrada
Cataluña · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En un parque infantil se quieren delimitar dos espacios: uno circular para una boca de riego y otro cuadrado para una caseta de herramientas.
Ambos espacios se rodean con barandilla de forja. La longitud total de las dos barandillas es de \(10\) metros.
¿Qué medida debe tener la barandilla de cada espacio para que la suma de las superficies de los dos espacios sea lo más pequeña posible? ¿Cuál es esta superficie mínima?
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos dos figuras:
- Un espacio circular.
- Un espacio cuadrado.
La suma de las dos barandillas mide:
\[
10\text{ m}
\]
Llamamos:
- \(x\): longitud de la barandilla del círculo.
- \(10-x\): longitud de la barandilla del cuadrado.
El objetivo es minimizar la suma de las áreas del círculo y del cuadrado.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Problemas de optimización.
- Área de un círculo.
- Área de un cuadrado.
- Derivadas para calcular mínimos.
La clave es expresar la superficie total en función de una sola variable.
🟢 Estrategia de resolución
Si la barandilla circular mide \(x\), entonces:
\[
2\pi r=x
\]
Por tanto:
\[
r=\frac{x}{2\pi}
\]
El área del círculo será:
\[
A_c=\pi r^2=\frac{x^2}{4\pi}
\]
Si la barandilla cuadrada mide \(10-x\), entonces el lado del cuadrado es:
\[
l=\frac{10-x}{4}
\]
Su área será:
\[
A_q=\left(\frac{10-x}{4}\right)^2
\]
🟣 Resolución paso a paso
Función superficie total
La superficie total es:
\[
A(x)=A_c+A_q
\]
Por tanto:
\[
A(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\left(\frac{10-x}{4}\right)^2
\]
\[
A(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{(10-x)^2}{16}
\]
Minimización
Derivamos:
\[
A'(x)=\frac{x}{2\pi}-\frac{10-x}{8}
\]
Igualamos a cero:
\[
\frac{x}{2\pi}=\frac{10-x}{8}
\]
Multiplicamos en cruz:
\[
8x=2\pi(10-x)
\]
\[
8x=20\pi-2\pi x
\]
\[
x(8+2\pi)=20\pi
\]
\[
x=\frac{20\pi}{8+2\pi}
\]
Simplificando:
\[
x=\frac{10\pi}{4+\pi}
\]
Por tanto, la barandilla del círculo debe medir:
\[
\boxed{\frac{10\pi}{4+\pi}\text{ m}}
\]
La barandilla del cuadrado medirá:
\[
10-x=10-\frac{10\pi}{4+\pi}
\]
\[
10-x=\frac{40}{4+\pi}
\]
Por tanto:
\[
\boxed{\frac{40}{4+\pi}\text{ m}}
\]
Comprobamos que es un mínimo:
\[
A''(x)=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{8}>0
\]
Luego la superficie total alcanza un mínimo.
Superficie mínima
Sustituimos en la expresión del área:
\[
A_{\min}=\frac{25}{4+\pi}
\]
Aproximadamente:
\[
A_{\min}\approx 3,501\text{ m}^2
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\text{Barandilla circular }=\frac{10\pi}{4+\pi}\text{ m}}
\]
\[
\boxed{\text{Barandilla cuadrada }=\frac{40}{4+\pi}\text{ m}}
\]
\[
\boxed{A_{\min}=\frac{25}{4+\pi}\text{ m}^2\approx3,501\text{ m}^2}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En un problema de optimización, la primera decisión importante es elegir bien la variable.
- La longitud de una circunferencia permite expresar el radio del círculo.
- El perímetro del cuadrado permite expresar su lado.
- La superficie total se minimiza derivando la función área.
- La segunda derivada positiva confirma que el punto crítico es un mínimo.