4.2 – Probabilidades de sucesos
Madrid · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sabiendo que:
\[
P(B)=0{,}4,\qquad
P\bigl(\overline{A\cup B}\bigr)=0{,}4,
\qquad
P(B\mid A)=0{,}2,
\]
calcule las siguientes probabilidades:
- \(P(\overline A)\) y \(P(A\cap B)\). (1 punto)
- \(P\bigl((A\cap B)\mid(A\cup B)\bigr)\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El dato \(P\bigl(\overline{A\cup B}\bigr)=0{,}4\) corresponde al suceso contrario de la unión.
Por tanto:
\[
P(A\cup B)=1-P\bigl(\overline{A\cup B}\bigr).
\]
Además, la probabilidad condicionada \(P(B\mid A)=0{,}2\) relaciona \(P(A\cap B)\) con \(P(A)\).
En el apartado b), la condición conocida es que ha ocurrido \(A\cup B\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Suceso contrario.
- Probabilidad de la unión de dos sucesos.
- Probabilidad condicionada.
- Intersección de sucesos.
Recordamos que \(P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\), siempre que \(P(A)>0\).
🟢 Estrategia de resolución
Primero obtenemos \(P(A\cup B)\) mediante el suceso contrario.
Después expresamos la intersección en función de \(P(A)\):
\[
P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A).
\]
Introducimos esa expresión en la fórmula de la unión para hallar \(P(A)\).
Finalmente aplicamos directamente la definición de probabilidad condicionada en el apartado b).
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo de \(P(\overline A)\) y \(P(A\cap B)\)
La probabilidad de la unión es:
\[
P(A\cup B)
=1-P\bigl(\overline{A\cup B}\bigr)
=1-0{,}4=0{,}6.
\]
A partir de la probabilidad condicionada:
\[
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=0{,}2,
\]
obtenemos:
\[
P(A\cap B)=0{,}2P(A).
\]
Aplicamos la fórmula de la unión:
\[
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
\]
Sustituyendo los datos:
\[
0{,}6=P(A)+0{,}4-0{,}2P(A).
\]
\[
0{,}2=0{,}8P(A)
\quad\Longrightarrow\quad
P(A)=0{,}25.
\]
Por tanto:
\[
P(\overline A)=1-P(A)=1-0{,}25=\boxed{0{,}75}
\]
y:
\[
P(A\cap B)=0{,}2\cdot0{,}25=\boxed{0{,}05}.
\]
b) Probabilidad condicionada
Como \(A\cap B\subseteq A\cup B\), se tiene:
\[
\begin{aligned}
P\bigl((A\cap B)\mid(A\cup B)\bigr)
&=\frac{P\bigl((A\cap B)\cap(A\cup B)\bigr)}{P(A\cup B)}\\
&=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)}\\
&=\frac{0{,}05}{0{,}6}
=\boxed{\frac1{12}}\approx0{,}0833.
\end{aligned}
\]
Respuesta: \(P(\overline A)=0{,}75\), \(P(A\cap B)=0{,}05\) y la probabilidad del apartado b) es \(\dfrac1{12}\).
Qué debes aprender de este problema
- La barra sobre una unión afecta a todo el suceso \(A\cup B\).
- Una probabilidad condicionada permite expresar una intersección como un producto.
- La fórmula de la unión evita contar dos veces la intersección.
- Si un suceso está contenido en otro, su intersección con el segundo es el propio suceso.