3 – Simetría, distancia y planos ortogonales
Madrid · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados el plano:
\[
\pi:\ 2x+2y-z=13
\]
y la recta:
\[
r\equiv\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{4},
\]
- Halle el punto simétrico del punto \(P(2,0,0)\) respecto al plano \(\pi\). (1 punto)
- Responda solo a uno de los dos apartados siguientes: (1 punto)
- b1) Halle la distancia entre el plano \(\pi\) y la recta \(r\).
- b2) Halle una ecuación del plano que contiene a la recta \(r\) y es ortogonal al plano \(\pi\).
🟠 Comprensión del enunciado
El vector normal del plano es:
\[
\vec n_{\pi}=(2,2,-1).
\]
De la ecuación continua de la recta obtenemos:
\[
P_0=(2,0,0),\qquad \vec v_r=(1,1,4).
\]
Para hallar el simétrico de \(P\), primero hay que encontrar su proyección ortogonal \(M\) sobre el plano.
Aunque en el examen solo se responde a b1) o a b2), se resuelven las dos opciones para que la ficha sea completa.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vector normal de un plano.
- Proyección ortogonal y punto simétrico.
- Posición relativa entre recta y plano.
- Distancia de un punto a un plano.
- Plano definido por un punto y dos vectores directores.
Dos planos son ortogonales cuando sus vectores normales son perpendiculares.
🟢 Estrategia de resolución
En a), trazamos por \(P\) la recta normal al plano. Su intersección con \(\pi\) es el punto medio entre \(P\) y su simétrico.
En b1), comprobamos si la recta es paralela al plano mediante el producto escalar \(\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\). Si lo es y no está contenida, calculamos la distancia de cualquier punto de \(r\) a \(\pi\).
En b2), el plano buscado contiene los vectores \(\vec v_r\) y \(\vec n_{\pi}\). El producto vectorial de ambos proporciona un vector normal del nuevo plano.
🟣 Resolución paso a paso
a) Punto simétrico respecto al plano
La recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P(2,0,0)\) tiene como vector director \(\vec n_{\pi}\):
\[
s:\ (x,y,z)=(2,0,0)+t(2,2,-1).
\]
Por tanto:
\[
x=2+2t,\qquad y=2t,\qquad z=-t.
\]
Sustituimos en la ecuación del plano:
\[
2(2+2t)+2(2t)-(-t)=13.
\]
\[
4+9t=13
\quad\Longrightarrow\quad
t=1.
\]
La proyección de \(P\) sobre el plano es:
\[
M=(4,2,-1).
\]
Si \(Q\) es el punto simétrico, \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(Q\). Así:
\[
Q=2M-P=2(4,2,-1)-(2,0,0).
\]
\[
\boxed{Q=(6,4,-2)}.
\]
b1) Distancia entre el plano y la recta
Comprobamos la posición relativa:
\[
\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}
=(1,1,4)\cdot(2,2,-1)
=2+2-4=0.
\]
La recta es paralela al plano. Además, el punto \(P_0=(2,0,0)\) de la recta no pertenece a \(\pi\), ya que:
\[
2\cdot2+2\cdot0-0=4\neq13.
\]
La distancia entre la recta y el plano es la distancia de \(P_0\) al plano:
\[
\begin{aligned}
d(r,\pi)
&=\frac{|2\cdot2+2\cdot0-0-13|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}\\
&=\frac{9}{3}=\boxed{3}.
\end{aligned}
\]
b2) Plano que contiene a \(r\) y es ortogonal a \(\pi\)
El plano buscado contiene la dirección de \(r\) y también puede tomar como dirección el vector normal de \(\pi\):
\[
\vec v_r=(1,1,4),\qquad \vec n_{\pi}=(2,2,-1).
\]
Un vector normal del plano buscado es:
\[
\vec n=\vec v_r\times\vec n_{\pi}
=(-9,9,0),
\]
que podemos simplificar como \(\vec n=(1,-1,0)\).
Usando el punto \(P_0=(2,0,0)\):
\[
1(x-2)-1(y-0)+0(z-0)=0.
\]
\[
\boxed{x-y-2=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El vector normal del plano determina la dirección de la proyección ortogonal.
- El pie de la perpendicular es el punto medio entre un punto y su simétrico.
- Si el vector director de una recta es perpendicular al normal de un plano, la recta es paralela al plano o está contenida en él.
- Para construir un plano pueden usarse un punto y dos vectores directores no paralelos.