5.2 – Continuidad, derivabilidad y recta tangente
Madrid · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=
\begin{cases}
3x^2-\operatorname{sen}(ax)+b,&x<0,\\[4pt]
\dfrac{2e^x}{1+x^2},&x\geq0.
\end{cases}
\]
- Calcule los valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=0\). (1 punto)
- Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa \(x=2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La función está definida mediante dos expresiones y el punto de unión es \(x=0\).
Para que sea continua, el límite por la izquierda debe coincidir con el valor de la rama derecha en \(0\).
Para que sea derivable, además de ser continua, deben coincidir las derivadas laterales.
Como \(2>0\), para hallar la recta tangente del apartado b) se utiliza la expresión \(\dfrac{2e^x}{1+x^2}\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Continuidad de una función definida a trozos.
- Derivadas laterales.
- Regla del cociente.
- Recta tangente a una gráfica.
La recta tangente en \(x=x_0\) tiene ecuación \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\).
🟢 Estrategia de resolución
En a), imponemos primero:
\[
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0).
\]
Con el valor de \(b\) obtenido, derivamos ambas ramas e igualamos \(f'_-(0)\) y \(f'_+(0)\).
En b), calculamos el punto \((2,f(2))\) y la pendiente \(f'(2)\).
Finalmente sustituimos ambos datos en la ecuación punto-pendiente.
🟣 Resolución paso a paso
a) Continuidad y derivabilidad en \(x=0\)
La rama derecha determina el valor de la función en \(0\):
\[
f(0)=\frac{2e^0}{1+0^2}=2.
\]
El límite por la izquierda es:
\[
\lim_{x\to0^-}\bigl(3x^2-\operatorname{sen}(ax)+b\bigr)=b.
\]
Para que la función sea continua:
\[
b=2.
\]
Derivamos la rama izquierda:
\[
f'(x)=6x-a\cos(ax),\qquad x<0.
\]
Por tanto:
\[
f'_-(0)=-a.
\]
Para la rama derecha aplicamos la regla del cociente:
\[
\begin{aligned}
f'(x)
&=\frac{2e^x(1+x^2)-2e^x(2x)}{(1+x^2)^2}\\
&=\frac{2e^x(x^2-2x+1)}{(1+x^2)^2}\\
&=\frac{2e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2},\qquad x>0.
\end{aligned}
\]
La derivada por la derecha en \(0\) vale:
\[
f'_+(0)=2.
\]
Imponemos la igualdad de derivadas laterales:
\[
-a=2
\quad\Longrightarrow\quad
a=-2.
\]
Así, la función es continua y derivable en \(0\) para:
\[
\boxed{a=-2,\qquad b=2}.
\]
b) Recta tangente en \(x=2\)
Calculamos la ordenada del punto de tangencia:
\[
f(2)=\frac{2e^2}{1+2^2}=\frac{2e^2}{5}.
\]
La pendiente de la tangente es:
\[
\begin{aligned}
f'(2)
&=\frac{2e^2(2-1)^2}{(1+2^2)^2}\\
&=\frac{2e^2}{25}.
\end{aligned}
\]
Usamos la ecuación punto-pendiente:
\[
\boxed{
y-\frac{2e^2}{5}
=\frac{2e^2}{25}(x-2)}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- La continuidad debe comprobarse antes de imponer la derivabilidad.
- En una función a trozos, las derivadas laterales se calculan con ramas diferentes.
- El parámetro \(b\) controla aquí la continuidad y el parámetro \(a\), la derivabilidad.
- Para una tangente se necesitan el punto de la gráfica y el valor de la derivada.