E1 – Discusión de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
\[
\begin{cases}
\lambda x+y=1,\\
x+\lambda y+z=2,\\
x+y+z=2.
\end{cases}
\]
- Discuta el sistema según los valores del parámetro \(\lambda\). (1,2 puntos)
- Resuélvalo para \(\lambda=1\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Hay tres ecuaciones, tres incógnitas y un parámetro \(\lambda\) en la matriz de coeficientes.
Los únicos valores que requieren un estudio separado son los que anulan el determinante.
Para \(\lambda=1\), el sistema tendrá infinitas soluciones y habrá que expresarlas mediante un parámetro libre.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistemas compatibles determinados e indeterminados.
- Sistemas incompatibles.
Si \(\det A\neq0\), el sistema tiene una única solución.
🟢 Estrategia de resolución
Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada, y calculamos \(\det A\).
Estudiamos por separado \(\lambda=0\) y \(\lambda=1\), los valores para los que el determinante se anula.
Finalmente sustituimos \(\lambda=1\) y parametrizamos el sistema.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:
\[
A=\begin{pmatrix}
\lambda&1&0\\
1&\lambda&1\\
1&1&1
\end{pmatrix},
\qquad
A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}
\lambda&1&0&1\\
1&\lambda&1&2\\
1&1&1&2
\end{array}\right).
\]
Calculamos el determinante:
\[
\det A=
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0\\
1&\lambda&1\\
1&1&1
\end{vmatrix}
=\lambda^2-\lambda
=\lambda(\lambda-1).
\]
Por tanto, si \(\lambda\neq0,1\), se cumple \(\det A\neq0\). En ese caso:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3,
\]
y el sistema es compatible determinado.
Estudio de \(\lambda=0\)
El sistema queda:
\[
\begin{cases}
y=1,\\
x+z=2,\\
x+y+z=2.
\end{cases}
\]
De las dos primeras ecuaciones obtenemos \(y=1\) y \(x+z=2\). Al sustituir en la tercera:
\[
x+y+z=(x+z)+y=2+1=3\neq2.
\]
Aparece una contradicción, así que el sistema es incompatible.
Estudio de \(\lambda=1\)
Ahora el sistema es:
\[
\begin{cases}
x+y=1,\\
x+y+z=2,\\
x+y+z=2.
\end{cases}
\]
Solo hay dos ecuaciones independientes:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3.
\]
El sistema es compatible indeterminado.
La discusión completa es:
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\lambda\neq0,1:&\text{compatible determinado},\\
\lambda=0:&\text{incompatible},\\
\lambda=1:&\text{compatible indeterminado}.
\end{array}}
\]
b) Resolución para \(\lambda=1\)
Tomamos \(x=t\), con \(t\in\mathbb R\). De la primera ecuación:
\[
y=1-x=1-t.
\]
Usando la segunda:
\[
x+y+z=2
\Rightarrow
t+(1-t)+z=2
\Rightarrow
z=1.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{(x,y,z)=(t,1-t,1),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El determinante localiza los valores singulares del parámetro.
- Cuando el determinante se anula hay que comparar rangos o estudiar directamente las ecuaciones.
- Una contradicción identifica un sistema incompatible.
- En un sistema compatible indeterminado se introduce un parámetro libre.