E2 – Ecuación con matriz inversa
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada
\[
A=\begin{pmatrix}a&a\\0&1\end{pmatrix},
\]
calcular el valor real de \(a\) que hace que
\[
A^2=A^{-1}+\begin{pmatrix}0&3\\0&0\end{pmatrix}.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto e inversa de matrices.
- Dimensiones de una matriz.
- Resolución de ecuaciones matriciales.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
Para que exista \(A^{-1}\) debe ser \(|A|=a\ne0\).
\[
A^2=\begin{pmatrix}a^2&a^2+a\\0&1\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac1a&-1\\0&1\end{pmatrix}.
\]
Así,
\[
A^{-1}+\begin{pmatrix}0&3\\0&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\frac1a&2\\0&1\end{pmatrix}.
\]
Al igualar entradas:
\[
a^2=\frac1a,\qquad a^2+a=2.
\]
La primera exige \(a^3=1\), cuya única solución real es \(a=1\). Esta también verifica la segunda ecuación.
Respuesta: \(\boxed{a=1}\).
Qué debes aprender de este problema
- La presencia de (A^{-1}) obliga a imponer (a
e0). - Las potencias y la inversa deben calcularse antes de igualar entradas.
- El valor final debe satisfacer todas las ecuaciones obtenidas.