PAUGeometríaRectas y planos en el espacioMedia
E4 – Recta perpendicular y distancia a un plano
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Nivel
2º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 2
Bloque
Geometría
Tema
Rectas y planos en el espacio
Fuente
PAU
Comunidad
Castilla y León
Año
2022
Convocatoria
Ordinaria
Dificultad
Media
Tipo
Tradicional
Enunciado
Considere \(P=(2,2,1)\) y \(\pi\equiv2x+3y-3z+6=0\).
- Hallar la recta que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(\pi\). (1 punto)
- Calcular la distancia de \(Q=(2,2,-2)\) a \(\pi\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vectores directores y normales.
- Ecuaciones de rectas y planos.
- Producto escalar y producto vectorial.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Recta perpendicular
La normal de \(\pi\), \((2,3,-3)\), sirve como director de la recta:
\[
\boxed{r:(x,y,z)=(2,2,1)+t(2,3,-3)}.
\]
b) Distancia
\[
d(Q,\pi)=\frac{|2\cdot2+3\cdot2-3(-2)+6|}{\sqrt{2^2+3^2+(-3)^2}}
=\frac{22}{\sqrt{22}}=\boxed{\sqrt{22}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- La normal de un plano da la dirección de sus rectas perpendiculares.
- La fórmula de distancia usa el valor absoluto de la ecuación del plano.
- Conviene simplificar el resultado exacto sin pasar a decimal.