E10 – Tiempo hasta la avería de impresoras
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El tiempo hasta la primera avería de una impresora sigue aproximadamente una normal de media \(1500\) horas y desviación típica \(200\) horas.
- ¿Qué porcentaje fallará antes de \(1000\) horas? (1 punto)
- De \(500\) impresoras, ¿cuántas tendrán su primera avería entre \(1000\) y \(2000\) horas? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Sea \(X\sim N(1500,200)\). Tipificamos con \(Z=(X-1500)/200\) y usamos la simetría de la normal estándar.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Tipificación.
- Distribución normal estándar.
- Lectura de la tabla de la normal.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Antes de 1000 horas
\[
P(X<1000)=P\left(Z<\frac{1000-1500}{200}\right)=P(Z<-2{,}5).
\]
\[
P(Z<-2{,}5)=1-\Phi(2{,}5)=1-0{,}9938=\boxed{0{,}0062}.
\]
Es decir, un \(\boxed{0{,}62\%}\).
b) Entre 1000 y 2000 horas
\[ El número esperado es \[ Por tanto, aproximadamente \(\boxed{494\text{ impresoras}}\).
P(1000
500\cdot0{,}9876=493{,}8.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Tipificar convierte cualquier normal en una normal estándar.
- La simetría permite calcular probabilidades de intervalos centrados.
- Un número esperado de objetos se redondea razonablemente a una unidad.