E1 – Discusión y resolución de un sistema
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dado el sistema
\[
\begin{cases}
x+y+mz=4\\
2x-y+2z=3\\
x-2y+z=0
\end{cases}
\]
- Discutirlo según los valores de \(m\). (1,2 puntos)
- Resolverlo para \(m=2\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas lineales con parámetro.
- Determinante y rango.
- Clasificación de sistemas.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión
La matriz de coeficientes es
\[
A=\begin{pmatrix}1&1&m\\2&-1&2\\1&-2&1\end{pmatrix},
\qquad |A|=3(1-m).
\]
Si \(m\ne1\), el determinante no se anula y el sistema es compatible determinado.
Para \(m=1\), si llamamos \(s=x+z\), las dos primeras ecuaciones dan
\[
s+y=4,\qquad 2s-y=3
\]
y de ellas \(s=7/3\), \(y=5/3\). Sin embargo, la tercera exige \(s-2y=0\), es decir, \(s=10/3\), contradicción. El sistema es incompatible.
Conclusión: SCD si \(m\ne1\); SI si \(m=1\).
b) Caso (m=2)
Al sustituir \(m=2\) se comprueba que
\[
(x,y,z)=(1,1,1)
\]
satisface las tres ecuaciones. Como \(m\ne1\), la solución es única:
\[
\boxed{x=y=z=1}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El determinante separa el caso regular del singular.
- En el caso singular hay que comparar ecuaciones y detectar incompatibilidades.
- Una solución encontrada es única si el sistema ya se ha clasificado como determinado.