E2 – Ecuación y compatibilidad de productos matriciales
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Dadas
\[
A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix},\qquad
C=\begin{pmatrix}1&3\\2&2\end{pmatrix},
\]
hallar \(X\) tal que \(AX+B=C\). (1,2 puntos) - Dadas
\[
M=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix},\qquad
N=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad
P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&0\end{pmatrix},
\]
explicar cuáles de \(MN,MP,NP\) pueden calcularse y calcularlos cuando sea posible. (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto e inversa de matrices.
- Dimensiones de una matriz.
- Resolución de ecuaciones matriciales.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Ecuación matricial
\[
AX=C-B=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.
\]
Como \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\),
\[
X=A^{-1}(C-B)
=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}
=\boxed{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.
\]
b) Dimensiones
\(M\) es \(2\times3\), \(N\) es \(2\times2\) y \(P\) es \(3\times2\).
- \(MN\) no existe: las dimensiones interiores \(3\) y \(2\) no coinciden.
- \(MP\) sí existe y es \(2\times2\):
\[
MP=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&0\end{pmatrix}
=\boxed{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.
\] - \(NP\) no existe: las dimensiones interiores \(2\) y \(3\) no coinciden.
Qué debes aprender de este problema
- Para despejar en (AX=D), la inversa de (A) multiplica por la izquierda.
- Un producto existe si coinciden las dimensiones interiores.
- El orden de los factores no puede intercambiarse libremente.