E2 – Ecuación matricial con una inversa
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las matrices
\[
A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}x&0\\y&1\\z&x+y\end{pmatrix},\quad
C=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix},
\]
calcular \(x,y,z\in\mathbb{R}\) para que \(AB=C^{-1}\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto e inversa de matrices.
- Dimensiones de una matriz.
- Resolución de ecuaciones matriciales.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
Inversa de (C)
Como \(|C|=1\),
\[
C^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.
\]
Producto e identificación de entradas
\[
AB=\begin{pmatrix}x+z&x+y\\-x+y&1\end{pmatrix}.
\]
Igualando con \(C^{-1}\):
\[
x+z=2,\qquad x+y=1,\qquad -x+y=1.
\]
Las dos últimas ecuaciones dan \(2y=2\), luego \(y=1\) y \(x=0\). Finalmente \(z=2\).
Respuesta: \(\boxed{x=0,\ y=1,\ z=2}\).
Qué debes aprender de este problema
- Comprobar que la matriz es invertible antes de calcular su inversa.
- Respetar las dimensiones al realizar el producto.
- Igualar matrices entrada a entrada.