E1 – Sistema lineal con dos parámetros
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Calcular \(\lambda\) y \(\mu\) para que el sistema de ecuaciones lineales
\[
\begin{cases}
x+2y+z=\mu\\
\lambda x+y=1\\
y+\lambda z=-1
\end{cases}
\]
tenga infinitas soluciones. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas lineales con parámetro.
- Determinante y rango.
- Clasificación de sistemas.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos primero el determinante de la matriz de coeficientes. Solo cuando se anule será posible que haya infinitas soluciones.
Después estudiamos por separado los valores singulares de \(\lambda\) y comparamos los rangos.
🟣 Resolución paso a paso
Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es
\[
A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ \lambda&1&0\\ 0&1&\lambda\end{pmatrix},
\qquad |A|=2\lambda(1-\lambda).
\]
Para que el sistema pueda tener infinitas soluciones debe ser \(\lambda=0\) o \(\lambda=1\).
Si \(\lambda=0\), la segunda ecuación exige \(y=1\), mientras que la tercera exige \(y=-1\). El sistema es incompatible para cualquier \(\mu\).
Si \(\lambda=1\), sumando la segunda y la tercera ecuación obtenemos \(x+2y+z=0\). Para que sea compatible con la primera debe cumplirse \(\mu=0\).
Con \(\lambda=1\) y \(\mu=0\) quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas, por lo que hay infinitas soluciones:
\[
y=t,\qquad x=1-t,\qquad z=-1-t.
\]
Respuesta: \(\boxed{\lambda=1,\ \mu=0}\).
Qué debes aprender de este problema
- El determinante señala los valores del parámetro que requieren discusión.
- Que el determinante sea cero no garantiza infinitas soluciones: también puede haber incompatibilidad.
- Los rangos deben coincidir y ser menores que el número de incógnitas.