E4 – Plano paralelo y equidistante de una recta
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados el plano \(\pi\equiv x+2y-2z=0\) y la recta
\[
r\equiv\frac{x}{-2}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-1}{1},
\]
- Comprobar que \(r\) es paralela a \(\pi\). (1 punto)
- Hallar el plano \(\sigma\), distinto de \(\pi\) y paralelo a \(\pi\), cuya distancia a \(r\) coincide con la de \(\pi\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Paralelismo y perpendicularidad.
- Vectores directores y normales.
- Distancias en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Paralelismo
Un punto y un vector director de \(r\) son \(A=(0,4,1)\) y \(\vec v=(-2,2,1)\). La normal de \(\pi\) es \(\vec n=(1,2,-2)\).
\[
\vec v\cdot\vec n=-2+4-2=0.
\]
La dirección de \(r\) es paralela al plano. Además, \(A\notin\pi\), pues \(0+8-2=6\ne0\); por tanto \(r\parallel\pi\).
b) Plano paralelo equidistante
La distancia de la recta a \(\pi\) es la distancia de \(A\) al plano:
\[
d(r,\pi)=\frac{|6|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=2.
\]
Todo plano paralelo tiene forma \(\sigma_d:x+2y-2z+d=0\). Pedimos
\[
\frac{|6+d|}{3}=2\quad\Longrightarrow\quad |6+d|=6.
\]
Así, \(d=0\) reproduce \(\pi\), o \(d=-12\). El plano distinto buscado es
\[
\boxed{\sigma\equiv x+2y-2z-12=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta es paralela a un plano cuando su director es perpendicular a la normal.
- La distancia de una recta paralela a un plano se calcula usando cualquiera de sus puntos.
- Hay dos planos paralelos a igual distancia de una recta, uno puede ser el plano inicial.