E3 – Plano perpendicular que pasa por dos puntos
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Calcular la ecuación del plano \(\pi\) que es perpendicular al plano
\[
\sigma\equiv x+2y+3z=0
\]
y pasa por \(P=(0,0,0)\) y \(Q=(0,1,1)\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vectores directores y normales.
- Ecuaciones de rectas y planos.
- Producto escalar y producto vectorial.
🟢 Estrategia de resolución
El plano buscado contiene el vector \(\overrightarrow{PQ}\). Además, al ser perpendicular a \(\sigma\), su normal debe ser perpendicular a la normal de \(\sigma\).
Un producto vectorial proporciona directamente un vector normal válido.
🟣 Resolución paso a paso
\[
\overrightarrow{PQ}=(0,1,1),\qquad \vec n_\sigma=(1,2,3).
\]
Un vector normal del plano buscado es
\[
\vec n_\pi=\overrightarrow{PQ}\times\vec n_\sigma
=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\0&1&1\\1&2&3\end{vmatrix}
=(1,1,-1).
\]
Como pasa por el origen, su término independiente es cero:
\[
\boxed{\pi\equiv x+y-z=0}.
\]
Se comprueba que \(Q\) pertenece a \(\pi\) y que \(\vec n_\pi\cdot\vec n_\sigma=0\).
Qué debes aprender de este problema
- Reconocer las herramientas de Rectas y planos en el espacio que exige el enunciado.
- Justificar cada paso antes de sustituir valores.
- Comprobar que la solución cumple las condiciones iniciales.