E7 – Límite con radicales
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Calcular
\[
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^3+x-1}-\sqrt{x^3+1}}{x-2}.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Indeterminaciones.
- Equivalencias y racionalización.
- Regla de L'Hôpital cuando procede.
🟢 Estrategia de resolución
La sustitución directa produce \(0/0\). Racionalizamos el numerador multiplicando por su conjugado; así aparecerá el factor \(x-2\).
🟣 Resolución paso a paso
Multiplicamos por el conjugado:
\[
\frac{\sqrt{x^3+x-1}-\sqrt{x^3+1}}{x-2}
\frac{\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}}{\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}}
\]
\[
=\frac{(x^3+x-1)-(x^3+1)}
{(x-2)\left(\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}\right)}
=\frac{x-2}{(x-2)\left(\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}\right)}.
\]
Para \(x\ne2\) simplificamos y tomamos el límite:
\[
\lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{x^3+x-1}+\sqrt{x^3+1}}
=\frac{1}{3+3}=\boxed{\frac16}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Reconocer las herramientas de Límites que exige el enunciado.
- Justificar cada paso antes de sustituir valores.
- Comprobar que la solución cumple las condiciones iniciales.