E1 – Sistema con parámetros y solución prescrita
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Obtener todas las soluciones de \(\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y-z=3\end{cases}\). (1 punto)
- Determinar todos los \(a,b\in\mathbb R\) para que \((5,-2,-2)\) sea solución de
\[
\begin{cases}
x+y+z=1\\
x+2y-z=3\\
ax+2ay+bz=b
\end{cases}
\]
y decidir para cuáles de esos valores la solución es única. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas lineales con parámetro.
- Determinante y rango.
- Clasificación de sistemas.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Sistema de dos ecuaciones
Tomamos \(z=t\). Restando la primera ecuación de la segunda:
\[
y-2z=2\quad\Longrightarrow\quad y=2+2t.
\]
En la primera:
\[
x=1-y-z=-1-3t.
\]
Las soluciones son \(\boxed{(x,y,z)=(-1-3t,\,2+2t,\,t)}\), \(t\in\mathbb R\).
b) Parámetros y unicidad
Sustituimos \((5,-2,-2)\) en la tercera ecuación:
\[
5a-4a-2b=b\quad\Longrightarrow\quad \boxed{a=3b}.
\]
El determinante de la matriz de coeficientes del sistema de tres ecuaciones es
\[
\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&-1\\a&2a&b\end{vmatrix}=a+b.
\]
Bajo la condición \(a=3b\), vale \(4b\). La solución es única si \(b\ne0\), es decir, para \(\boxed{a=3b,\ b\ne0}\).
Si \(a=b=0\), la tercera ecuación es \(0=0\) y permanecen las infinitas soluciones del apartado a).
Qué debes aprender de este problema
- Un sistema con menos ecuaciones independientes que incógnitas se parametriza.
- Imponer una solución concreta produce una relación entre los parámetros.
- La unicidad se decide con el determinante de la matriz cuadrada final.