E5 – Continuidad, derivabilidad y asíntotas
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea
\[
f(x)=\begin{cases}
\dfrac1{2-x},&x<1,\\
\ln x,&x\ge1.
\end{cases}
\]
- Estudiar su continuidad y derivabilidad en \(x=1\). (1 punto)
- Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Límites laterales.
- Continuidad y derivabilidad.
- Teoremas de existencia y unicidad.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Continuidad y derivabilidad
\[
\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\qquad
\lim_{x\to1^+}f(x)=\ln1=0=f(1).
\]
Los límites laterales son distintos, luego \(f\) presenta una discontinuidad de salto en \(x=1\). En consecuencia, \(\boxed{f\text{ no es derivable en }x=1}\).
b) Asíntotas
El posible punto \(x=2\) no genera asíntota vertical porque la rama \(1/(2-x)\) solo se usa para \(x<1\). El logaritmo es finito para todo \(x\ge1\). No hay asíntotas verticales.
Cuando \(x\to-\infty\),
\[
\frac1{2-x}\to0,
\]
por lo que \(\boxed{y=0}\) es asíntota horizontal a la izquierda.
Cuando \(x\to+\infty\), \(\ln x\to+\infty\), así que no hay asíntota horizontal a la derecha.
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos hay que respetar el dominio de cada rama.
- La continuidad es necesaria para la derivabilidad.
- Una singularidad de una fórmula no cuenta si esa fórmula no se aplica cerca del punto.