E7 – Límite trigonométrico e integral
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{x^3+4x^2}\). (1 punto)
- Calcular \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,\cos^3x\,dx\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Primitivas.
- Integración por partes o cambio de variable.
- Regla de Barrow y cálculo de áreas.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Límite
Factorizamos y separamos:
\[
\frac{\sin(x^2)}{x^3+4x^2}
=\frac{\sin(x^2)}{x^2}\cdot\frac1{x+4}.
\]
Al tomar \(x\to0\):
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{x^3+4x^2}=1\cdot\frac14=\frac14}.
\]
b) Integral por cambio de variable
Calculamos primero una primitiva. Tomamos \(u=\cos x\), \(du=-\sin x\,dx\):
\[
\int\sin x\,\cos^3x\,dx=-\int u^3\,du=-\frac{u^4}{4}+C
=-\frac{\cos^4x}{4}+C.
\]
Aplicamos Barrow:
\[
\int_0^{\pi/2}\sin x\,\cos^3x\,dx
=\left[-\frac{\cos^4x}{4}\right]_0^{\pi/2}
=0-\left(-\frac14\right)=\boxed{\frac14}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- En la integral aparece la derivada de (cos x), por lo que conviene sustituir (u=cos x).
- Primero se obtiene la primitiva y después se aplica Barrow.