PropiaAnálisisCálculo de derivadasAvanzado
D27 – Deriva \(y=x^{x^x}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Análisis
Tema
Cálculo de derivadas
Fuente
Propia
Dificultad
Avanzado
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Calcula la derivada de la siguiente función:
\[
y=x^{x^x}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Derivación paso a paso
Aplicamos derivación logarítmica:
\[
\ln y=x^x\ln x
\]
Calculamos primero la derivada de \(x^x\):
\[
\dfrac{d}{dx}(x^x)=x^x(\ln x+1)
\]
Derivamos el segundo miembro mediante la regla del producto:
\[
\dfrac{y'}{y}=x^x(\ln x+1)\ln x+x^x\dfrac{1}{x}
\]
Despejamos \(y'\) y sustituimos \(y=x^{x^x}\):
\[
y'=x^{x^x}\left[x^x(\ln x+1)\ln x+\dfrac{x^x}{x}\right]
\]
Resultado final:
\[
\boxed{y'=x^{x^x}\left[x^x(\ln x+1)\ln x+\dfrac{x^x}{x}\right]}
\]