Sistemas de ecuaciones y método de Gauss
Aprende a resolver y clasificar sistemas lineales y no lineales, a trabajar con tres incógnitas y a aplicar el método de Gauss mediante escalonamiento y sustitución regresiva.
Resolver un sistema es encontrar valores que verifican todas sus ecuaciones
Una solución de un sistema debe satisfacer simultáneamente cada igualdad. En los sistemas lineales, la posición relativa de rectas o planos determina si existe una solución, infinitas o ninguna.
Concepto de sistema de ecuaciones
Un sistema es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse a la vez. Resolverlo consiste en hallar todos los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente todas las ecuaciones.
Dos ecuaciones y dos incógnitas
Su solución puede interpretarse como el punto de corte de dos rectas.
Tres ecuaciones y tres incógnitas
Cada ecuación representa un plano en el espacio.
Solución común
Debe verificar todas las ecuaciones, no solo una parte del sistema.
Comprueba si \((2,1)\) es solución de \(\begin{cases}x+y=3\\2x-y=3\end{cases}\)
Como verifica las dos ecuaciones, \((2,1)\) es solución del sistema.
Clasificación de sistemas
Los sistemas se clasifican según el número de soluciones. Esta clasificación puede reconocerse algebraicamente y también mediante su interpretación geométrica.
Compatible determinado
Tiene una única solución. Dos rectas se cortan en un punto.
Compatible indeterminado
Tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones representan la misma recta o una familia dependiente.
Incompatible
No tiene solución. Dos rectas son paralelas y distintas.
| Resultado algebraico | Clasificación | Interpretación |
|---|---|---|
| Se obtienen valores únicos para todas las incógnitas | SCD | Una única solución. |
| Aparece una identidad como \(0=0\) | SCI | Queda al menos una incógnita libre. |
| Aparece una contradicción como \(0=5\) | SI | No existe solución. |
Sistemas lineales de dos incógnitas
Los métodos de sustitución, igualación y reducción conducen al mismo resultado. La elección depende de la forma del sistema.
Despejar y sustituir
- Despeja una incógnita en una ecuación.
- Sustituye la expresión en la otra.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Recupera la otra incógnita.
Despejar la misma incógnita
- Despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
- Iguala las dos expresiones.
- Resuelve y sustituye.
Eliminar una incógnita
- Multiplica las ecuaciones si es necesario.
- Suma o resta para eliminar una incógnita.
- Resuelve y sustituye.
Resuelve \(\begin{cases}2x+3y=7\\3x-2y=4\end{cases}\)
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\) y la segunda por \(3\):
Sumamos ambas ecuaciones:
Sustituimos en \(2x+3y=7\):
Sistemas no lineales
Un sistema es no lineal cuando alguna ecuación contiene términos como \(x^2\), \(xy\), raíces o expresiones racionales. Normalmente se resuelve despejando y sustituyendo.
Resuelve \(\begin{cases}x+y=5\\x^2+y^2=13\end{cases}\)
Despejamos \(y=5-x\) en la primera ecuación y sustituimos:
Desarrollamos:
Dividimos entre \(2\):
Factorizamos:
Si \(x=2\), entonces \(y=3\). Si \(x=3\), entonces \(y=2\).
Sistemas de tres incógnitas
En un sistema de tres incógnitas buscamos ternas \((x,y,z)\). El método más eficaz es transformar el sistema en otro equivalente escalonado.
Forma general
Los coeficientes y términos independientes son números reales.
Forma escalonada
La última ecuación permite hallar \(z\), después \(y\) y finalmente \(x\).
Qué representa un sistema \(3\times3\)
Cada ecuación lineal representa un plano. Una única solución corresponde a un punto común a los tres planos. Infinitas soluciones pueden formar una recta o un plano común. Si no hay ningún punto común, el sistema es incompatible.
Método de Gauss y escalonamiento
El método de Gauss transforma un sistema en otro equivalente escalonado mediante operaciones elementales entre ecuaciones.
Intercambiar ecuaciones
Puede facilitar la elección del primer pivote.
Multiplicar una ecuación
No modifica las soluciones.
Sumar un múltiplo
Es la operación principal para eliminar incógnitas.
Resuelve \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\)
Partimos del sistema:
1. Eliminamos \(x\) de la segunda y tercera ecuación:
2. Eliminamos \(y\) de la tercera ecuación:
El sistema ya está escalonado.
Sustitución regresiva y clasificación
Una vez escalonado el sistema, se comienza por la última ecuación y se sustituyen los valores obtenidos hacia arriba.
Resuelve el sistema escalonado
1. Última ecuación:
2. Segunda ecuación:
3. Primera ecuación:
Última fila con pivote
Permite continuar la sustitución regresiva y suele conducir a una solución única.
Fila nula
La ecuación no aporta información nueva. Puede haber infinitas soluciones.
Contradicción
El sistema es incompatible.
Interpreta el sistema escalonado
Tomamos \(z=t\) como parámetro. Entonces:
Gauss convierte un sistema complejo en una cadena de ecuaciones sencillas
La clave está en realizar operaciones equivalentes, eliminar incógnitas de forma ordenada y leer correctamente la última fila del sistema escalonado.
Errores frecuentes
Resumen del tema
Un sistema reúne ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Los sistemas pueden ser compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles. Los sistemas lineales de dos incógnitas se resuelven por sustitución, igualación o reducción; los no lineales suelen resolverse mediante sustitución; y los sistemas de tres incógnitas se abordan eficazmente con el método de Gauss, escalonando y aplicando sustitución regresiva.
Antes de continuar
- Clasifico sistemas por su número de soluciones.
- Elijo el método adecuado en sistemas \(2\times2\).
- Resuelvo sistemas no lineales por sustitución.
- Escalono sistemas de tres incógnitas.
- Interpreto filas nulas y contradicciones.