Ecuaciones
Aprende a resolver ecuaciones de primer y segundo grado, bicuadradas y bicúbicas, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas con procedimientos ordenados y comprobación final.
Resolver una ecuación es encontrar los valores que la hacen verdadera
Cada tipo de ecuación exige una estrategia distinta, pero todas comparten tres ideas: transformar la igualdad sin alterar sus soluciones, controlar las condiciones de existencia y comprobar los resultados obtenidos.
Concepto de ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contiene una o varias incógnitas. Resolverla consiste en hallar todos los valores que verifican la igualdad.
Incógnita
Es la variable cuyo valor queremos determinar.
Solución
Es cualquier valor que convierte la ecuación en una igualdad verdadera.
Conjunto solución
Puede tener una, varias o ninguna solución real.
Ecuaciones equivalentes
Tienen exactamente las mismas soluciones.
Transformaciones seguras
Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por la misma cantidad no nula.
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado puede escribirse como \(ax+b=0\), con \(a\neq0\). Su solución se obtiene aislando la incógnita.
Forma general
La solución es única.
Solución
El coeficiente de \(x\) no puede ser cero.
Resuelve \(3(2x-1)-4=2(x+5)\)
Desarrollamos ambos miembros:
Agrupamos términos:
Despejamos:
Una solución
Es el caso habitual.
Infinitas soluciones
La igualdad es verdadera para todo \(x\).
Sin solución
Se llega a una contradicción.
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\), con \(a\neq0\). Puede resolverse por factorización o mediante la fórmula general.
Fórmula general
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
El signo \(\pm\) representa las dos posibles soluciones.
Discriminante
Permite anticipar cuántas soluciones reales existen.
| Valor de \(\Delta\) | Número de soluciones reales | Interpretación |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | Dos soluciones distintas | La raíz cuadrada del discriminante es positiva. |
| \(\Delta=0\) | Una solución doble | Las dos soluciones coinciden. |
| \(\Delta<0\) | Ninguna solución real | No existe la raíz cuadrada real del discriminante. |
Resuelve \(2x^2-5x-3=0\)
Identificamos \(a=2\), \(b=-5\) y \(c=-3\):
\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49
\]
x=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}
=\frac{5\pm7}{4}
\]
x_1=3,\qquad x_2=-\frac12
\]
Incompleta: \(ax^2+bx=0\)
Se saca factor común \(x\).
Incompleta: \(ax^2+c=0\)
Se despeja \(x^2\) y se extrae la raíz.
Ecuaciones bicuadradas y bicúbicas
Estas ecuaciones se resuelven mediante un cambio de variable que reduce su grado.
\(x^4-5x^2+4=0\)
- Hacemos \(t=x^2\).
- Obtenemos \(t^2-5t+4=0\).
- Factorizamos: \((t-1)(t-4)=0\).
- Así, \(t=1\) o \(t=4\).
- Volvemos a \(x\): \(x^2=1\) o \(x^2=4\).
\(x^6-9x^3+8=0\)
- Hacemos \(t=x^3\).
- Obtenemos \(t^2-9t+8=0\).
- Factorizamos: \((t-1)(t-8)=0\).
- Así, \(t=1\) o \(t=8\).
- Volvemos a \(x\): \(x^3=1\) o \(x^3=8\).
Ecuaciones racionales
En una ecuación racional aparecen fracciones algebraicas. Antes de eliminar denominadores hay que indicar los valores excluidos.
Resuelve \(\dfrac2{x-1}+\dfrac1{x+1}=1\)
1. Restricciones:
2. Multiplicamos por el mínimo común denominador \((x-1)(x+1)\):
2(x+1)+(x-1)=x^2-1
\]
3. Simplificamos:
3x+1=x^2-1
\]
x^2-3x-2=0
\]
4. Aplicamos la fórmula general:
x=\frac{3\pm\sqrt{17}}2
\]
Ninguna de las dos soluciones coincide con los valores excluidos, así que ambas son válidas.
Pasos recomendados
- Factoriza los denominadores.
- Escribe las restricciones.
- Calcula el mínimo común denominador.
- Multiplica toda la ecuación por él.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Descarta los valores prohibidos.
Advertencia
Un valor puede satisfacer la ecuación obtenida tras eliminar denominadores y, sin embargo, no pertenecer al dominio original.
x=1\quad\text{no puede aceptarse si aparece }x-1\text{ en un denominador}
\]
Ecuaciones radicales
En una ecuación radical, la incógnita aparece dentro de una raíz. El método consiste en aislar el radical y elevar ambos miembros a la potencia adecuada.
Resuelve \(\sqrt{x+5}=x-1\)
1. Condición previa: como el miembro izquierdo es no negativo, debe cumplirse \(x-1\ge0\), es decir, \(x\ge1\).
2. Elevamos al cuadrado:
x+5=(x-1)^2
\]
3. Desarrollamos y resolvemos:
x+5=x^2-2x+1
\]
x^2-3x-4=0
\]
(x-4)(x+1)=0
\]
Obtenemos \(x=4\) y \(x=-1\).
4. Comprobamos en la ecuación original:
x=4:\quad \sqrt9=3\quad\checkmark
\]
x=-1:\quad \sqrt4=2\neq-2\quad\text{se descarta}
\]
La única solución es \(x=4\).
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Las ecuaciones exponenciales contienen la incógnita en el exponente. Las logarítmicas contienen la incógnita dentro de un logaritmo.
\(2^{x+1}=16\)
- Escribimos \(16=2^4\).
- Igualamos exponentes.
- Resolvemos \(x+1=4\).
\(3^x=7\)
- Tomamos logaritmos en ambos miembros.
- \(\log(3^x)=\log7\).
- Aplicamos \(x\log3=\log7\).
x=\frac{\log7}{\log3}
\]
\(\log_2(x-1)=3\)
- Condición: \(x-1>0\).
- Pasamos a forma exponencial.
- \(x-1=2^3\).
- Despejamos \(x\).
\(\log x+\log(x-9)=1\)
- Condiciones: \(x>0\) y \(x-9>0\), luego \(x>9\).
- Unimos: \(\log[x(x-9)]=1\).
- Pasamos a forma exponencial: \(x(x-9)=10\).
- Resolvemos \(x^2-9x-10=0\).
- Obtenemos \(x=10\) o \(x=-1\).
La estrategia depende del tipo de ecuación
Antes de empezar a calcular, identifica la estructura. El método correcto suele aparecer al observar dónde está la incógnita y qué operaciones la rodean.
Errores frecuentes
Resumen del tema
Resolver ecuaciones consiste en transformar una igualdad hasta aislar la incógnita. Las ecuaciones lineales y cuadráticas se resuelven con métodos algebraicos directos; las bicuadradas y bicúbicas mediante cambios de variable; las racionales y radicales requieren controlar restricciones y comprobar; y las exponenciales y logarítmicas se apoyan en las propiedades de potencias y logaritmos.
Antes de continuar
- Identifico correctamente el tipo de ecuación.
- Escribo las restricciones antes de operar.
- Aplico el método correspondiente.
- Compruebo soluciones cuando es necesario.
- Expreso el conjunto solución con claridad.