Sistemas de inecuaciones
Aprende a resolver sistemas con una incógnita mediante intersección de intervalos y sistemas con dos incógnitas representando regiones del plano.
Resolver un sistema significa cumplir todas las inecuaciones a la vez
En una incógnita, la solución se obtiene intersectando intervalos. En dos incógnitas, cada inecuación determina un semiplano y la solución es la región común a todos ellos.
Qué es un sistema de inecuaciones
Un sistema de inecuaciones es un conjunto de desigualdades que deben verificarse simultáneamente. Su solución es la intersección de las soluciones de cada inecuación.
Con una incógnita
La solución se expresa mediante intervalos de la recta real.
Con dos incógnitas
La solución es una región del plano.
Sistemas con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado y después se toma la parte común de sus conjuntos solución.
Resuelve \(\begin{cases}2x-3\ge1\\5-x>2\end{cases}\)
Primera inecuación:
Segunda inecuación:
Tomamos la intersección:
Intersección no vacía
Hay valores que cumplen todas las inecuaciones.
Sin solución
Los intervalos no tienen puntos en común.
Un intervalo contenido
La intersección coincide con el intervalo más pequeño.
Intersección de intervalos
La intersección reúne únicamente los elementos que pertenecen a todos los intervalos. Conviene representarlos sobre una misma recta real.
Pasos recomendados
- Resuelve cada inecuación por separado.
- Escribe cada solución como intervalo.
- Representa los intervalos sobre la misma recta.
- Localiza la zona común.
- Cuida si los extremos están incluidos o excluidos.
Intersección y unión no son lo mismo
En un sistema se utiliza la intersección porque todas las condiciones deben cumplirse simultáneamente.
La unión se utiliza cuando basta con cumplir una condición u otra.
Resuelve \(\begin{cases}x^2-5x+6\le0\\x>1\end{cases}\)
Factorizamos la primera inecuación:
Su solución es:
La segunda inecuación tiene solución:
Intersectamos:
Sistemas con dos incógnitas
Una inecuación lineal con dos incógnitas representa un semiplano. La recta asociada divide el plano en dos regiones.
Recta frontera
Se obtiene sustituyendo el signo de desigualdad por una igualdad.
Línea continua
Se usa cuando la desigualdad incluye igualdad.
Línea discontinua
Se usa cuando los puntos de la frontera no pertenecen a la solución.
Representa \(x+y\le4\)
La recta frontera es:
Dos puntos de la recta son \((0,4)\) y \((4,0)\). Como aparece \(\le\), la recta se dibuja continua.
Probamos el punto \((0,0)\):
Por tanto, se sombrea el semiplano que contiene al origen.
Representación de semiplanos
Después de dibujar la recta frontera, hay que decidir cuál de los dos semiplanos cumple la inecuación.
Probar un punto sencillo
- Dibuja la recta frontera.
- Elige un punto que no esté en ella, normalmente \((0,0)\).
- Sustituye sus coordenadas en la inecuación.
- Si la desigualdad se cumple, sombrea el lado que contiene ese punto.
- Si no se cumple, sombrea el lado contrario.
Interpretar arriba o abajo
Cuando se puede despejar \(y\), la desigualdad indica directamente el semiplano.
Se sombrea por debajo de la recta.
Se sombrea por encima de la recta.
Región solución de un sistema
La solución de un sistema con dos incógnitas es la región común a todos los semiplanos. Puede ser acotada, no acotada, una recta, un segmento o el conjunto vacío.
Representa \(\begin{cases}x+y\le4\\x\ge0\\y\ge0\end{cases}\)
1. Primera inecuación:
La frontera es la recta \(x+y=4\), que pasa por \((0,4)\) y \((4,0)\). Se toma el semiplano que contiene al origen.
2. Segunda inecuación:
Se toma el semiplano situado a la derecha del eje \(Y\).
3. Tercera inecuación:
Se toma el semiplano situado por encima del eje \(X\).
4. Región común:
La solución es el triángulo cerrado cuyos vértices son:
Representación de la región solución
La región factible es el triángulo cerrado limitado por los ejes y la recta \(x+y=4\).
Región acotada
Queda encerrada y tiene área finita.
Región no acotada
Se prolonga indefinidamente en alguna dirección.
Región vacía
No existe ningún punto que cumpla todas las inecuaciones.
Aplicaciones de los sistemas de inecuaciones
Los sistemas de inecuaciones permiten expresar límites de tiempo, presupuesto, materiales, capacidad o producción.
Entradas para una actividad
En una actividad se venden entradas de adulto a \(8\) euros y entradas infantiles a \(5\) euros. El recinto admite como máximo \(100\) personas y se quiere recaudar al menos \(600\) euros.
Sea \(x\) el número de entradas de adulto e \(y\) el de entradas infantiles. Las restricciones son:
La región solución contiene todas las combinaciones posibles de entradas que cumplen simultáneamente las condiciones de capacidad, recaudación y no negatividad.
La solución siempre es la parte común
En una incógnita buscamos la intersección de intervalos. En dos incógnitas buscamos la intersección de semiplanos.
Errores frecuentes
Resumen del tema
Los sistemas de inecuaciones reúnen desigualdades que deben cumplirse simultáneamente. Con una incógnita, se resuelve cada inecuación y se intersectan los intervalos obtenidos. Con dos incógnitas, cada desigualdad determina un semiplano y la solución es la región común. Las rectas frontera se dibujan continuas cuando se incluye la igualdad y discontinuas cuando no se incluye.
Antes de continuar
- Resuelvo cada inecuación por separado.
- Calculo correctamente la intersección.
- Dibujo las rectas frontera.
- Elijo el semiplano adecuado.
- Identifico la región común del sistema.