Matemáticas I · Trigonometría y Geometría · Tema 03

Ecuaciones y sistemas trigonométricos

Aprende a resolver ecuaciones elementales y transformadas, expresar correctamente sus soluciones generales, aplicar restricciones e interpretar los sistemas como una intersección de condiciones.

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Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar ángulos

En una ecuación algebraica, la incógnita representa normalmente un número. En una ecuación trigonométrica, la incógnita aparece dentro de una razón trigonométrica y representa uno o varios ángulos. Debido a la periodicidad, una misma igualdad puede cumplirse para infinitos valores.

1 Reconocer el tipo de ecuación

2 Obtener soluciones generales

3 Aplicar intervalos y restricciones

4 Resolver sistemas por intersección

Punto de partida

¿Qué es una ecuación trigonométrica?

Una ecuación trigonométrica es una igualdad en la que la incógnita aparece como argumento de una o varias razones trigonométricas. Resolverla significa encontrar todos los ángulos que hacen verdadera la igualdad.

sen x

Ecuación elemental

\[ \operatorname{sen}x=\frac12 \]

La razón trigonométrica ya está despejada y puede resolverse directamente utilizando la circunferencia goniométrica o los valores notables.

2 sen x

Ecuación transformada

\[ 2\operatorname{sen}x-1=0 \]

Antes de buscar los ángulos hay que despejar la razón trigonométrica.

sen² x

Ecuación con identidades

\[ 2\operatorname{sen}^2x-1=0 \]

Puede requerir una identidad, una sustitución, una factorización o la resolución de varios casos.

i Las soluciones de una ecuación trigonométrica son ángulos. Por eso es imprescindible indicar si trabajamos en grados o radianes y respetar la unidad utilizada durante toda la resolución.

Primer ejemplo

Comprueba que \(x=\dfrac{\pi}{6}\) es solución de \(\operatorname{sen}x=\dfrac12\)

Para comprobar una solución, sustituimos el valor propuesto en la ecuación:

\[ \operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac12 \]

La igualdad es verdadera porque:

\[ \operatorname{sen}30^\circ = \frac12 \]

Por tanto:

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{6} \text{ es una solución} } \]

Sin embargo, no es la única. Existen infinitos ángulos con el mismo seno debido a la periodicidad de la función.

Ecuación sin solución real

Analiza la ecuación \[ \cos x=2 \]

El coseno de cualquier ángulo real siempre cumple:

\[ -1\leq \cos x\leq 1 \]

Como \(2\) no pertenece al intervalo \([-1,1]\), no existe ningún ángulo real cuyo coseno sea igual a \(2\).

\[ \boxed{ \text{La ecuación no tiene solución real} } \]

Periodicidad

Soluciones generales

Una solución general reúne todas las soluciones de la ecuación mediante un parámetro entero. Utilizaremos \(k\in\mathbb Z\), lo que permite sumar o restar tantas vueltas como sea necesario.

Periodo del seno y del coseno

El seno y el coseno repiten sus valores después de una vuelta completa:

\[ 2\pi\text{ rad}=360^\circ \]

\[ \operatorname{sen}(x+2k\pi) = \operatorname{sen}x \]

\[ \cos(x+2k\pi) = \cos x \]

\[ k\in\mathbb Z \]

Periodo de la tangente

La tangente repite sus valores después de media vuelta:

\[ \pi\text{ rad}=180^\circ \]

\[ \operatorname{tg}(x+k\pi) = \operatorname{tg}x \]

\[ k\in\mathbb Z \]

i El parámetro \(k\) puede tomar cualquier valor entero: \[ k=\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \] Cada valor de \(k\) proporciona una solución concreta.

Solución general

Resuelve \[ \operatorname{sen}x=0 \]

El seno es cero en los ángulos situados sobre el eje horizontal:

\[ x=0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ldots \]

También debemos incluir los valores negativos:

\[ x=-\pi,\ -2\pi,\ -3\pi,\ldots \]

Todos estos valores son múltiplos enteros de \(\pi\):

\[ \boxed{ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Observa que en este caso podemos utilizar \(k\pi\) porque las soluciones aparecen separadas una distancia de \(\pi\).

Solución general del coseno

Resuelve \[ \cos x=1 \]

El coseno vale \(1\) en el punto de la circunferencia goniométrica de coordenadas \((1,0)\).

\[ x=0 \]

Este valor vuelve a repetirse después de cada vuelta completa:

\[ x=0,\ 2\pi,\ 4\pi,\ 6\pi,\ldots \]

Incluyendo también las vueltas negativas:

\[ \boxed{ x=2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Periodicidad de la tangente

Resuelve \[ \operatorname{tg}x=0 \]

La tangente es cero cuando el seno es cero y el coseno no lo es:

\[ x=0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ldots \]

Como la tangente tiene periodo \(\pi\), la solución general es:

\[ \boxed{ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Soluciones básicas en radianes

\[ \operatorname{sen}x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=k\pi \]

\[ \cos x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=2k\pi \]

\[ \cos x=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pi+2k\pi \]

\[ \operatorname{tg}x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=k\pi \]

Las mismas soluciones en grados

\[ \operatorname{sen}x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=180^\circ k \]

\[ \cos x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=360^\circ k \]

\[ \cos x=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=180^\circ+360^\circ k \]

\[ \operatorname{tg}x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=180^\circ k \]

! No mezcles grados y radianes. Una expresión como \[ x=30^\circ+2k\pi \] es incorrecta porque combina dos unidades distintas. Debemos escribir \(30^\circ+360^\circ k\) o \(\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\).

Modelos fundamentales

Ecuaciones trigonométricas elementales

Las ecuaciones elementales tienen la forma \(\operatorname{sen}x=a\), \(\cos x=a\) o \(\operatorname{tg}x=a\). Cada una presenta una estructura de soluciones diferente.

sen x = a

Ecuación con seno

Si \(\alpha\) es un ángulo cuyo seno vale \(a\), las soluciones se encuentran en dos posiciones simétricas respecto del eje vertical.

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\alpha+2k\pi\\[2mm] x&=\pi-\alpha+2k\pi \end{aligned} } \]

Normalmente aparecen dos familias de soluciones por cada vuelta.

cos x = a

Ecuación con coseno

Si \(\alpha\) es un ángulo cuyo coseno vale \(a\), las soluciones son simétricas respecto del eje horizontal.

\[ \boxed{ x=\pm\alpha+2k\pi } \]

También pueden escribirse las dos familias por separado.

tg x = a

Ecuación con tangente

La tangente toma el mismo valor en dos cuadrantes opuestos. Como su periodo es \(\pi\), basta una única familia.

\[ \boxed{ x=\alpha+k\pi } \]

La repetición se produce cada \(180^\circ\).

! Para que \(\operatorname{sen}x=a\) o \(\cos x=a\) tengan soluciones reales, debe cumplirse: \[ -1\leq a\leq1 \] La tangente, en cambio, puede tomar cualquier valor real.

Primer modelo

Ecuaciones del tipo \(\operatorname{sen}x=a\)

Procedimiento Seno

Cómo obtener las soluciones

Comprueba que \(a\in[-1,1]\).
Busca un ángulo de referencia \(\alpha\).
Determina en qué cuadrantes tiene el seno el signo necesario.
Escribe las dos soluciones de una vuelta.
Añade \(2k\pi\) a cada familia.

Fórmula general

Si:

\[ \operatorname{sen}\alpha=a \]

entonces:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\alpha+2k\pi\\[2mm] x&=\pi-\alpha+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ecuación elemental con seno

Resuelve \[ \operatorname{sen}x=\frac{\sqrt3}{2} \]

Buscamos un ángulo notable cuyo seno sea \(\dfrac{\sqrt3}{2}\):

\[ \operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2} \]

El ángulo de referencia es:

\[ \alpha=\frac{\pi}{3} \]

El seno es positivo en el primer y en el segundo cuadrante. La primera solución es:

\[ x=\frac{\pi}{3} \]

La segunda solución se obtiene mediante:

\[ x=\pi-\frac{\pi}{3} \]

\[ x=\frac{2\pi}{3} \]

Añadimos vueltas completas a las dos soluciones:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\[2mm] x&=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

Seno negativo

Resuelve \[ \operatorname{sen}x=-\frac12 \]

El ángulo de referencia correspondiente a \(\dfrac12\) es:

\[ \alpha=\frac{\pi}{6} \]

Como el seno debe ser negativo, buscamos las soluciones en el tercer y cuarto cuadrante.

En el tercer cuadrante:

\[ x=\pi+\frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \]

En el cuarto cuadrante:

\[ x=2\pi-\frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \]

Por tanto:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\\[2mm] x&=\frac{11\pi}{6}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

Segundo modelo

Ecuaciones del tipo \(\cos x=a\)

Procedimiento Coseno

Cómo obtener las soluciones

Comprueba que \(a\in[-1,1]\).
Busca un ángulo de referencia \(\alpha\).
Determina los cuadrantes con el signo adecuado.
Escribe las soluciones como \(\pm\alpha\).
Añade \(2k\pi\) a las dos familias.

Fórmula general

Si:

\[ \cos\alpha=a \]

entonces:

\[ \boxed{ x=\pm\alpha+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

De forma equivalente:

\[ \begin{aligned} x&=\alpha+2k\pi\\ x&=-\alpha+2k\pi \end{aligned} \]

Ecuación elemental con coseno

Resuelve \[ \cos x=-\frac12 \]

El ángulo de referencia es:

\[ \alpha=\frac{\pi}{3} \]

El coseno es negativo en el segundo y en el tercer cuadrante.

En el segundo cuadrante:

\[ x=\pi-\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]

En el tercer cuadrante:

\[ x=\pi+\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \]

Las soluciones generales son:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\[2mm] x&=\frac{4\pi}{3}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

Coseno positivo

Resuelve \[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2} \]

Sabemos que:

\[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} \]

El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante. Podemos utilizar directamente:

\[ x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi \]

Si preferimos escribir las soluciones de una vuelta entre \(0\) y \(2\pi\):

\[ x=\frac{\pi}{4} \qquad\text{o}\qquad x=2\pi-\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \]

Por tanto:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\[2mm] x&=\frac{7\pi}{4}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

La forma compacta equivalente es:

\[ \boxed{ x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Tercer modelo

Ecuaciones del tipo \(\operatorname{tg}x=a\)

Procedimiento Tangente

Cómo obtener las soluciones

Busca un ángulo \(\alpha\) cuya tangente sea \(a\).
Comprueba el signo de la tangente.
Recuerda que se repite en cuadrantes opuestos.
Escribe una única familia.
Añade \(k\pi\), no \(2k\pi\).

Fórmula general

Si:

\[ \operatorname{tg}\alpha=a \]

entonces:

\[ \boxed{ x=\alpha+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ecuación elemental con tangente

Resuelve \[ \operatorname{tg}x=1 \]

Buscamos un ángulo notable cuya tangente sea \(1\):

\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1 \]

La tangente tiene periodo \(\pi\), por lo que:

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Por ejemplo, algunos valores concretos son:

\[ \ldots, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \ldots \]

Tangente negativa

Resuelve \[ \operatorname{tg}x=-1 \]

Una solución principal es:

\[ \alpha=-\frac{\pi}{4} \]

Como la tangente tiene periodo \(\pi\):

\[ \boxed{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

También podemos utilizar una solución positiva equivalente:

\[ -\frac{\pi}{4}+\pi = \frac{3\pi}{4} \]

\[ \boxed{ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ambas expresiones describen exactamente el mismo conjunto de soluciones.

Tangente con radical

Resuelve \[ \operatorname{tg}x=\sqrt3 \]

Sabemos que:

\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt3 \]

Por tanto:

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

✓

Comparación

Resumen de las ecuaciones elementales

Tipo	Condición	Solución general	Periodo
\[ \operatorname{sen}x=a \]	\[ -1\leq a\leq1 \]	\[ \begin{aligned} x&=\alpha+2k\pi\\ x&=\pi-\alpha+2k\pi \end{aligned} \]	\[ 2\pi \]
\[ \cos x=a \]	\[ -1\leq a\leq1 \]	\[ x=\pm\alpha+2k\pi \]	\[ 2\pi \]
\[ \operatorname{tg}x=a \]	\[ a\in\mathbb R \]	\[ x=\alpha+k\pi \]	\[ \pi \]

i La tabla resume la estructura general, pero en cada ejercicio debes determinar correctamente el ángulo \(\alpha\) y los cuadrantes en los que se encuentra la razón trigonométrica con el signo indicado.

Despejar antes de resolver

Ecuaciones trigonométricas transformadas

Una ecuación trigonométrica transformada no aparece inicialmente en la forma elemental \(\operatorname{sen}x=a\), \(\cos x=a\) o \(\operatorname{tg}x=a\). Antes de buscar los ángulos debemos operar algebraicamente hasta despejar una razón trigonométrica.

Procedimiento Ecuación transformada

Cómo resolverla

Agrupa los términos que contienen la razón trigonométrica.
Pasa los términos independientes al otro miembro.
Divide por el coeficiente de la razón trigonométrica.
Comprueba si el valor obtenido es posible.
Resuelve la ecuación elemental resultante.
Escribe las soluciones generales o aplica el intervalo.

Modelo general con seno

\[ a\operatorname{sen}x+b=0 \]

\[ a\operatorname{sen}x=-b \]

\[ \operatorname{sen}x=-\frac{b}{a} \]

A partir de este momento se resuelve como una ecuación trigonométrica elemental.

i La parte algebraica debe resolverse antes que la trigonométrica. No busques ángulos hasta haber despejado completamente el seno, el coseno o la tangente.

Ecuación transformada con seno

Resuelve \[ 2\operatorname{sen}x-1=0 \]

El seno no está todavía despejado. Pasamos el término independiente al segundo miembro:

\[ 2\operatorname{sen}x=1 \]

Dividimos entre \(2\):

\[ \operatorname{sen}x=\frac12 \]

Buscamos un ángulo notable cuyo seno sea \(\dfrac12\):

\[ \operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac12 \]

El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante. Por tanto, las soluciones de una vuelta son:

\[ x=\frac{\pi}{6} \]

\[ x=\pi-\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \]

Añadimos vueltas completas:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\[2mm] x&=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ecuación transformada con coseno

Resuelve \[ 3\cos x+1=0 \]

Pasamos el término independiente al segundo miembro:

\[ 3\cos x=-1 \]

Dividimos entre \(3\):

\[ \cos x=-\frac13 \]

Este valor no corresponde a un ángulo notable. Utilizamos la función inversa del coseno:

\[ \alpha= \arccos\left(-\frac13\right) \]

Con calculadora, en radianes:

\[ \alpha\approx1{,}9106 \]

Para el coseno podemos escribir:

\[ x=\pm\alpha+2k\pi \]

Sustituimos el valor de \(\alpha\):

\[ \boxed{ x=\pm1{,}9106+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Si queremos expresar las dos soluciones positivas de una vuelta:

\[ x_1\approx1{,}9106 \]

\[ x_2= 2\pi-1{,}9106 \approx4{,}3726 \]

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&\approx1{,}9106+2k\pi\\[2mm] x&\approx4{,}3726+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

! Cuando el ángulo no es notable, puedes mantener la solución exacta usando \(\arcsin\), \(\arccos\) o \(\arctan\), o bien dar una aproximación decimal si el ejercicio lo permite.

Ecuación transformada con tangente

Resuelve \[ \sqrt3\,\operatorname{tg}x-1=0 \]

Pasamos el término independiente:

\[ \sqrt3\,\operatorname{tg}x=1 \]

Dividimos entre \(\sqrt3\):

\[ \operatorname{tg}x=\frac{1}{\sqrt3} \]

Racionalizamos o reconocemos el valor notable:

\[ \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3} \]

\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{3} \]

Como la tangente tiene periodo \(\pi\):

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{6}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Valor imposible

Resuelve \[ 2\cos x+3=0 \]

Despejamos el coseno:

\[ 2\cos x=-3 \]

\[ \cos x=-\frac32 \]

Sin embargo, para cualquier ángulo real se cumple:

\[ -1\leq\cos x\leq1 \]

Como:

\[ -\frac32<-1 \]

el valor obtenido no puede ser el coseno de ningún ángulo real.

\[ \boxed{ \text{La ecuación no tiene solución real} } \]

Ecuación con términos semejantes

Resuelve \[ 5\operatorname{sen}x-2 = 3\operatorname{sen}x+1 \]

Agrupamos los términos que contienen el seno en el primer miembro:

\[ 5\operatorname{sen}x - 3\operatorname{sen}x = 1+2 \]

Simplificamos:

\[ 2\operatorname{sen}x=3 \]

Dividimos entre \(2\):

\[ \operatorname{sen}x=\frac32 \]

Pero el seno solo puede tomar valores entre \(-1\) y \(1\). Como \(\dfrac32>1\):

\[ \boxed{ \text{La ecuación no tiene solución real} } \]

Ecuación con fracciones

Resuelve \[ \frac{\cos x}{2} - \frac14 = 0 \]

Pasamos el término independiente:

\[ \frac{\cos x}{2} = \frac14 \]

Multiplicamos ambos miembros por \(2\):

\[ \cos x = \frac12 \]

El ángulo de referencia es:

\[ \alpha=\frac{\pi}{3} \]

El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante:

\[ x=\frac{\pi}{3} \qquad\text{o}\qquad x=\frac{5\pi}{3} \]

Por tanto:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\[2mm] x&=\frac{5\pi}{3}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

Atención al argumento

Ecuaciones con \(2x\), \(3x\) o expresiones semejantes

Cuando la incógnita aparece multiplicada dentro de la razón trigonométrica, primero resolvemos la ecuación considerando todo el argumento como una única variable. Después despejamos \(x\), dividiendo también el término periódico.

Procedimiento Argumento múltiple

Cómo resolver una ecuación en \(2x\)

Considera provisionalmente \(u=2x\).
Resuelve la ecuación trigonométrica en \(u\).
Sustituye de nuevo \(u=2x\).
Divide toda la expresión entre \(2\).
Divide también el término \(2k\pi\) o \(k\pi\).

Error que debes evitar

\[ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \]

Al dividir entre \(2\), debemos dividir todos los términos:

\[ x= \frac{\pi}{6} + k\pi \]

No sería correcto mantener \(2k\pi\).

Ecuación con ángulo doble

Resuelve \[ \operatorname{sen}(2x)=\frac{\sqrt3}{2} \]

Consideramos provisionalmente:

\[ u=2x \]

La ecuación queda:

\[ \operatorname{sen}u = \frac{\sqrt3}{2} \]

Las soluciones generales en \(u\) son:

\[ u=\frac{\pi}{3}+2k\pi \]

\[ u=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \]

Sustituimos de nuevo \(u=2x\):

\[ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \]

\[ 2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \]

Dividimos cada ecuación entre \(2\):

\[ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \]

\[ x=\frac{\pi}{3}+k\pi \]

Por tanto:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+k\pi\\[2mm] x&=\frac{\pi}{3}+k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ecuación con coseno de ángulo triple

Resuelve \[ \cos(3x)=0 \]

El coseno es cero cuando:

\[ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi \]

Dividimos toda la igualdad entre \(3\):

\[ x= \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \]

Por tanto:

\[ \boxed{ x= \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ecuación con traslación del argumento

Resuelve \[ \operatorname{sen} \left( x-\frac{\pi}{4} \right) = 0 \]

Sabemos que:

\[ \operatorname{sen}u=0 \quad\Longrightarrow\quad u=k\pi \]

En este caso:

\[ u=x-\frac{\pi}{4} \]

Por tanto:

\[ x-\frac{\pi}{4}=k\pi \]

Sumamos \(\dfrac{\pi}{4}\) a los dos miembros:

\[ x= \frac{\pi}{4} + k\pi \]

\[ \boxed{ x= \frac{\pi}{4} + k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ecuación completa con argumento transformado

Resuelve \[ 2\cos(2x)-1=0 \]

Despejamos el coseno:

\[ 2\cos(2x)=1 \]

\[ \cos(2x)=\frac12 \]

Para el coseno igual a \(\dfrac12\):

\[ 2x= \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

\[ 2x= \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \]

Dividimos las dos familias entre \(2\):

\[ x= \frac{\pi}{6} + k\pi \]

\[ x= \frac{5\pi}{6} + k\pi \]

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+k\pi\\[2mm] x&=\frac{5\pi}{6}+k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

! Recuerda dividir también la periodicidad. Si aparece \(2x\), el término \(2k\pi\) se transforma en \(k\pi\). Si aparece \(3x\), se transforma en \(\dfrac{2k\pi}{3}\).

✓

Ideas esenciales

Resumen de las ecuaciones transformadas

Despeja primero

Opera algebraicamente hasta dejar una razón trigonométrica aislada.

\[ a\operatorname{sen}x+b=0 \]

\[ \operatorname{sen}x=-\frac ba \]

Comprueba el valor

Para seno y coseno, el resultado debe pertenecer a \([-1,1]\).

\[ -1\leq a\leq1 \]

Cuida el argumento

Si aparece \(2x\), \(3x\) o una expresión semejante, resuelve primero el argumento completo y despeja después.

\[ 2x=\alpha+2k\pi \]

\[ x=\frac{\alpha}{2}+k\pi \]

Transformar antes de resolver

Ecuaciones que requieren identidades trigonométricas

No todas las ecuaciones pueden resolverse despejando directamente una razón trigonométrica. Cuando aparecen cuadrados, productos, varias razones distintas o expresiones del tipo \(\sin^2x\), \(\cos^2x\) o \(\sin x\cos x\), es necesario utilizar las identidades trigonométricas estudiadas en el tema anterior.

①

Identidad fundamental

\[ \sin^2x+\cos^2x=1 \]

Permite expresar toda la ecuación únicamente en función del seno o únicamente en función del coseno.

②

Ángulo doble

\[ \sin2x=2\sin x\cos x \]

Muy útil cuando aparece un producto entre seno y coseno.

③

Factorización

\[ AB=0 \Longrightarrow A=0 \text{ o } B=0 \]

Muchas ecuaciones se simplifican agrupando factores.

i Antes de empezar a operar pregúntate siempre: «¿Puedo convertir esta ecuación en otra más sencilla utilizando alguna identidad?»

Ejemplo 1

Resolver \[ \sin^2x=\cos^2x \]

En esta ecuación aparecen simultáneamente seno y coseno. Aplicamos la identidad fundamental:

\[ \cos^2x=1-\sin^2x \]

Sustituimos:

\[ \sin^2x = 1-\sin^2x \]

\[ 2\sin^2x=1 \]

\[ \sin^2x=\frac12 \]

Extraemos raíz:

\[ \sin x= \pm\frac{\sqrt2}{2} \]

Esto produce cuatro soluciones en una vuelta:

\[ x= \frac\pi4, \frac{3\pi}4, \frac{5\pi}4, \frac{7\pi}4 \]

La solución general puede escribirse de forma compacta:

\[ \boxed{ x= \frac\pi4+ \frac{k\pi}2, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Ejemplo 2

Resolver \[ 2\sin^2x-3\sin x+1=0 \]

Realizamos el cambio

\[ u=\sin x \]

La ecuación queda

\[ 2u^2-3u+1=0 \]

Factorizamos:

\[ (2u-1)(u-1)=0 \]

\[ u=\frac12 \qquad u=1 \]

Volvemos a la variable original:

\[ \sin x=\frac12 \]

\[ \sin x=1 \]

Resolvemos ambos casos y reunimos todas las soluciones.

Ejemplo 3

Resolver \[ \sin x\cos x=\frac14 \]

Aplicamos la identidad del seno del ángulo doble:

\[ 2\sin x\cos x=\sin2x \]

Multiplicamos toda la ecuación por 2:

\[ \sin2x=\frac12 \]

Ya tenemos una ecuación elemental.

\[ 2x= \frac\pi6+2k\pi \]

\[ 2x= \frac{5\pi}6+2k\pi \]

Dividimos entre 2.

\[ \boxed{ x= \frac\pi{12}+k\pi } \]

\[ \boxed{ x= \frac{5\pi}{12}+k\pi } \]

Ejemplo 4

Resolver \[ \sin x(2\cos x-1)=0 \]

Aplicamos la propiedad del producto nulo.

\[ \sin x=0 \]

o bien

\[ 2\cos x-1=0 \]

Se obtienen dos ecuaciones elementales independientes que resolvemos por separado y finalmente unimos todas las soluciones.

Ejemplo 5

Resolver \[ 2\cos^2x-3\cos x+1=0 \]

Realizamos el cambio

\[ u=\cos x \]

Obtenemos

\[ 2u^2-3u+1=0 \]

Se factoriza:

\[ (2u-1)(u-1)=0 \]

Finalmente resolvemos

\[ \cos x=\frac12 \]

\[ \cos x=1 \]

! Idea clave del tema: Cuando una ecuación contiene cuadrados, productos o varias razones trigonométricas distintas, primero debe transformarse utilizando identidades. Solo cuando se reduce a una ecuación elemental se buscan los ángulos correspondientes.

Seleccionar las soluciones válidas

Restricciones e intervalos

Una ecuación trigonométrica suele tener infinitas soluciones. Sin embargo, muchos ejercicios piden únicamente las soluciones que pertenecen a un intervalo concreto. En ese caso, primero obtenemos la solución general y después seleccionamos los valores que cumplen la restricción indicada.

Procedimiento Intervalos

Cómo trabajar con una restricción

Resuelve la ecuación y obtiene las soluciones generales.
Escribe claramente el intervalo solicitado.
Sustituye varios valores enteros de \(k\).
Conserva únicamente las soluciones pertenecientes al intervalo.
Comprueba si los extremos están incluidos o excluidos.
Presenta la solución como un conjunto finito de ángulos.

Tipos frecuentes de intervalos

\[ 0 \leq x < 2\pi \]

Intervalo de una vuelta completa. Incluye \(0\), pero no incluye \(2\pi\).

\[ 0 < x < 2\pi \]

No incluye ninguno de los dos extremos.

\[ -\pi\leq x\leq\pi \]

Incluye valores positivos, negativos y ambos extremos.

i Los extremos del intervalo son importantes. Los símbolos \(\leq\) y \(\geq\) indican que el extremo se incluye. Los símbolos \(<\) y \(>\) indican que el extremo queda excluido.

Restricción a una vuelta

Resuelve \[ \operatorname{sen}x=\frac12 \] en el intervalo \[ 0\leq x<2\pi \]

La solución general de la ecuación es:

\[ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\[2mm] x&=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z \]

Debemos seleccionar únicamente los valores comprendidos entre \(0\) y \(2\pi\).

Para \(k=0\):

\[ x=\frac{\pi}{6} \qquad\text{y}\qquad x=\frac{5\pi}{6} \]

Ambos pertenecen al intervalo.

Para \(k=1\):

\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi = \frac{13\pi}{6} > 2\pi \]

\[ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi = \frac{17\pi}{6} > 2\pi \]

Estos valores quedan fuera del intervalo.

Para \(k=-1\), las dos soluciones son negativas, por lo que tampoco pertenecen al intervalo.

\[ \boxed{ x\in \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right\} } \]

Intervalo cerrado

Resuelve \[ \cos x=-1 \] en \[ -\pi\leq x\leq\pi \]

La solución general es:

\[ x=\pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z \]

Para \(k=0\):

\[ x=\pi \]

Este valor pertenece al intervalo porque el extremo derecho está incluido.

Para \(k=-1\):

\[ x=\pi-2\pi=-\pi \]

Este valor también pertenece al intervalo porque el extremo izquierdo está incluido.

Los demás valores quedan fuera.

\[ \boxed{ x\in\{-\pi,\pi\} } \]

! Aunque \(-\pi\) y \(\pi\) representan el mismo punto en la circunferencia goniométrica, son dos números distintos y ambos pertenecen al intervalo cerrado indicado.

Intervalo abierto

Resuelve \[ \operatorname{sen}x=0 \] en \[ 0
La solución general es:

\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z \]

Probamos los valores enteros de \(k\) que pueden dar soluciones en el intervalo.

Para \(k=0\):

\[ x=0 \]

Este valor queda excluido porque el intervalo es abierto.

Para \(k=1\):

\[ x=\pi \]

Este valor pertenece al intervalo.

Para \(k=2\):

\[ x=2\pi \]

También queda excluido porque el extremo derecho no se incluye.

\[ \boxed{x=\pi} \]

Argumento múltiple e intervalo

Resuelve \[ \operatorname{sen}(2x)=0 \] en \[ 0\leq x<2\pi \]

Sabemos que:

\[ \operatorname{sen}u=0 \quad\Longrightarrow\quad u=k\pi \]

En este ejercicio:

\[ 2x=k\pi \]

Dividimos entre \(2\):

\[ x=\frac{k\pi}{2} \]

Aplicamos la condición:

\[ 0\leq\frac{k\pi}{2}<2\pi \]

Como \(\pi/2>0\), podemos dividir todos los miembros entre \(\pi/2\):

\[ 0\leq k<4 \]

Los valores enteros posibles son:

\[ k=0,\ 1,\ 2,\ 3 \]

Sustituimos:

\[ \begin{aligned} k=0&\Rightarrow x=0\\ k=1&\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\\ k=2&\Rightarrow x=\pi\\ k=3&\Rightarrow x=\frac{3\pi}{2} \end{aligned} \]

\[ \boxed{ x\in \left\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \right\} } \]

Ecuación cuadrática en un intervalo

Resuelve \[ 2\cos^2x-\cos x-1=0 \] en \[ 0\leq x<2\pi \]

Realizamos el cambio:

\[ u=\cos x \]

La ecuación queda:

\[ 2u^2-u-1=0 \]

Factorizamos:

\[ (2u+1)(u-1)=0 \]

Aplicamos la propiedad del producto nulo:

\[ 2u+1=0 \qquad\text{o}\qquad u-1=0 \]

\[ u=-\frac12 \qquad\text{o}\qquad u=1 \]

Volvemos a la variable original:

\[ \cos x=-\frac12 \qquad\text{o}\qquad \cos x=1 \]

Resolvemos el primer caso:

\[ \cos x=-\frac12 \]

\[ x=\frac{2\pi}{3} \qquad\text{o}\qquad x=\frac{4\pi}{3} \]

Resolvemos el segundo caso:

\[ \cos x=1 \]

En el intervalo \(0\leq x<2\pi\), la única solución es:

\[ x=0 \]

El valor \(2\pi\) no se incluye.

\[ \boxed{ x\in \left\{ 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right\} } \]

Soluciones aproximadas

Resuelve \[ 3\operatorname{sen}x-1=0 \] en \[ 0\leq x\leq2\pi \]

Despejamos el seno:

\[ 3\operatorname{sen}x=1 \]

\[ \operatorname{sen}x=\frac13 \]

Calculamos el ángulo principal:

\[ \alpha= \arcsin\left(\frac13\right) \]

\[ \alpha\approx0{,}3398 \]

Como el seno es positivo, las soluciones se encuentran en el primer y segundo cuadrante.

Primera solución:

\[ x_1=\alpha\approx0{,}3398 \]

Segunda solución:

\[ x_2=\pi-\alpha \]

\[ x_2\approx 3{,}1416-0{,}3398 \approx2{,}8018 \]

\[ \boxed{ x\in \left\{ 0{,}3398, 2{,}8018 \right\} } \]

! Cuando utilices la calculadora, comprueba que está configurada en la unidad angular correcta. Si el ejercicio trabaja en radianes, la calculadora debe estar en modo RAD.

✓

Selección de valores

Cómo pasar de la solución general a un intervalo

Resuelve la ecuación

Obtén primero todas las familias de soluciones.

\[ x=\alpha+2k\pi \]

Acota el parámetro

Utiliza los límites del intervalo para averiguar qué valores de \(k\) son posibles.

\[ a \leq \alpha +2k \pi < b \]

Escribe el conjunto final

Presenta solamente las soluciones válidas, sin utilizar ya el parámetro \(k\).

\[ x\in\{x_1,x_2,\ldots\} \]

Cumplir varias condiciones

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

En un sistema trigonométrico, una misma incógnita debe satisfacer simultáneamente dos o más ecuaciones. Por tanto, la solución del sistema es la intersección de los conjuntos de soluciones de cada ecuación.

Idea fundamental

Si una ecuación tiene por conjunto de soluciones \(S_1\) y otra tiene por conjunto de soluciones \(S_2\), entonces:

\[ \boxed{ S=S_1\cap S_2 } \]

Solo son soluciones del sistema los valores que aparecen en los dos conjuntos.

Procedimiento Sistemas

Cómo resolver un sistema trigonométrico

Resuelve la primera ecuación.
Resuelve la segunda ecuación.
Aplica el intervalo si existe.
Escribe los dos conjuntos de soluciones.
Calcula su intersección.
Comprueba los valores obtenidos en el sistema original.

i Resolver las ecuaciones por separado no es suficiente. El paso decisivo consiste en comprobar qué valores cumplen todas las ecuaciones a la vez.

Sistema elemental

Resuelve en \[ 0\leq x<2\pi \] el sistema: \[ \begin{cases} \operatorname{sen}x=0\\[1mm] \cos x=1 \end{cases} \]

Resolvemos la primera ecuación:

\[ \operatorname{sen}x=0 \]

En el intervalo indicado:

\[ S_1=\{0,\pi\} \]

Resolvemos la segunda ecuación:

\[ \cos x=1 \]

En el intervalo:

\[ S_2=\{0\} \]

Calculamos la intersección:

\[ S_1=\{0,\pi\} \]

\[ \cap \]

\[ S_2=\{0\} \]

\[ = \]

\[ \{0\} \]

\[ \boxed{x=0} \]

Sistema incompatible

Resuelve el sistema: \[ \begin{cases} \operatorname{sen}x=1\\[1mm] \cos x=1 \end{cases} \]

La primera ecuación tiene como solución general:

\[ \operatorname{sen}x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \]

La segunda ecuación tiene como solución general:

\[ \cos x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=2k\pi \]

No existe ningún ángulo que pertenezca simultáneamente a las dos familias.

\[ S_1\cap S_2=\varnothing \]

\[ \boxed{ \text{El sistema no tiene solución} } \]

Sistema con valores notables

Resuelve en \[ 0\leq x<2\pi \] el sistema: \[ \begin{cases} \operatorname{sen}x=\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] \cos x=\dfrac12 \end{cases} \]

Resolvemos la primera ecuación:

\[ \operatorname{sen}x=\frac{\sqrt3}{2} \]

\[ S_1= \left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right\} \]

Resolvemos la segunda ecuación:

\[ \cos x=\frac12 \]

\[ S_2= \left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right\} \]

Calculamos la intersección:

\[ S_1\cap S_2 = \left\{ \frac{\pi}{3} \right\} \]

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{3} } \]

Comprobación:

\[ \operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2} \]

\[ \cos\frac{\pi}{3} = \frac12 \]

Sistema con ecuación transformada

Resuelve en \[ 0\leq x<2\pi \] el sistema: \[ \begin{cases} 2\operatorname{sen}x-1=0\\[1mm] 2\cos x-\sqrt3=0 \end{cases} \]

Resolvemos la primera ecuación:

\[ 2\operatorname{sen}x-1=0 \]

\[ \operatorname{sen}x=\frac12 \]

\[ S_1= \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right\} \]

Resolvemos la segunda ecuación:

\[ 2\cos x-\sqrt3=0 \]

\[ 2\cos x=\sqrt3 \]

\[ \cos x=\frac{\sqrt3}{2} \]

\[ S_2= \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right\} \]

La única solución común es:

\[ S_1\cap S_2 = \left\{ \frac{\pi}{6} \right\} \]

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{6} } \]

Sistema con identidad fundamental

Resuelve en \[ 0\leq x<2\pi \] el sistema: \[ \begin{cases} \operatorname{sen}x=\cos x\\[1mm] \operatorname{sen}x>0 \end{cases} \]

La primera condición es una ecuación:

\[ \operatorname{sen}x=\cos x \]

Dividimos entre \(\cos x\), teniendo en cuenta que los valores con \(\cos x=0\) no satisfacen la igualdad original:

\[ \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}=1 \]

\[ \operatorname{tg}x=1 \]

La solución general es:

\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi \]

En el intervalo \(0\leq x<2\pi\):

\[ S_1= \left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right\} \]

Ahora aplicamos la segunda condición:

\[ \operatorname{sen}x>0 \]

El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante.

\[ \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}>0 \]

\[ \operatorname{sen}\frac{5\pi}{4}<0 \]

Por tanto, solo se conserva:

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{4} } \]

Sistema mediante suma y producto

Resuelve el sistema: \[ \begin{cases} \operatorname{sen}x+\cos x=\sqrt2\\[1mm] \operatorname{sen}x-\cos x=0 \end{cases} \]

Sumamos las dos ecuaciones:

\[ \left( \operatorname{sen}x+\cos x \right) + \left( \operatorname{sen}x-\cos x \right) = \sqrt2 \]

Simplificamos:

\[ 2\operatorname{sen}x=\sqrt2 \]

\[ \operatorname{sen}x = \frac{\sqrt2}{2} \]

Restamos la segunda ecuación de la primera:

\[ \left( \operatorname{sen}x+\cos x \right) - \left( \operatorname{sen}x-\cos x \right) = \sqrt2 \]

Simplificamos:

\[ 2\cos x=\sqrt2 \]

\[ \cos x = \frac{\sqrt2}{2} \]

Necesitamos un ángulo cuyo seno y coseno sean simultáneamente positivos e iguales a \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).

\[ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \]

Comprobamos:

\[ \operatorname{sen}\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} = \sqrt2 \]

\[ \operatorname{sen}\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} = 0 \]

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Sistema con cuadrados

Resuelve en \[ 0\leq x<2\pi \] el sistema: \[ \begin{cases} \operatorname{sen}^2x=\dfrac14\\[2mm] \cos x>0 \end{cases} \]

Resolvemos la primera condición:

\[ \operatorname{sen}^2x=\frac14 \]

Al extraer la raíz deben aparecer los dos signos:

\[ \operatorname{sen}x=\pm\frac12 \]

En una vuelta completa:

\[ S_1= \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right\} \]

Aplicamos ahora la segunda condición:

\[ \cos x>0 \]

El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante.

De las cuatro soluciones anteriores, pertenecen a esos cuadrantes:

\[ \frac{\pi}{6} \qquad\text{y}\qquad \frac{11\pi}{6} \]

\[ \boxed{ x\in \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right\} } \]

! Una igualdad y una desigualdad también pueden formar un sistema. Primero se resuelve la igualdad y después se utiliza la desigualdad para descartar las soluciones que no cumplen la condición de signo o de cuadrante.

✓

Interpretación final

Clasificación de un sistema trigonométrico

Una solución

Los conjuntos de soluciones tienen un único elemento común en el intervalo estudiado.

\[ S_1\cap S_2=\{\alpha\} \]

∞

Infinitas soluciones

Las dos ecuaciones son equivalentes o comparten una familia periódica de soluciones.

\[ S_1\cap S_2=S_1 \]

∅

Sin solución

No existe ningún ángulo que cumpla simultáneamente todas las ecuaciones.

\[ S_1\cap S_2=\varnothing \]

i En ejercicios con intervalo, la clasificación se refiere a las soluciones contenidas en ese intervalo. Fuera de él pueden existir otras soluciones periódicas.

Un método para cada situación

Estrategia general de resolución

Resolver una ecuación trigonométrica no consiste en aplicar siempre la misma fórmula. El procedimiento depende de la forma de la ecuación: puede ser elemental, transformada, cuadrática, factorizable o necesitar una identidad trigonométrica.

La habilidad más importante es aprender a reconocer la estructura de la ecuación antes de empezar a operar.

Observa la ecuación

Identifica qué razones trigonométricas aparecen y comprueba si contienen el mismo argumento.

\[ \operatorname{sen}x,\qquad \cos x,\qquad \operatorname{tg}x \]

Simplifica

Opera algebraicamente, agrupa términos y elimina denominadores cuando sea necesario.

\[ a\operatorname{sen}x+b = c\operatorname{sen}x+d \]

Transforma

Utiliza identidades para escribir toda la ecuación con una sola razón trigonométrica o para obtener una expresión factorizable.

\[ \operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1 \]

Reduce a casos elementales

El objetivo es llegar a ecuaciones sencillas de seno, coseno o tangente.

\[ \operatorname{sen}x=a \]

\[ \cos x=b \]

\[ \operatorname{tg}x=c \]

Escribe todas las soluciones

Ten en cuenta la periodicidad y no te limites al valor que proporciona la calculadora.

\[ k\in\mathbb Z \]

Comprueba las restricciones

Elimina las soluciones que no pertenezcan al intervalo o que hagan cero algún denominador de la ecuación original.

\[ x\in I \]

Elegir el método adecuado

¿Qué debo hacer según la forma de la ecuación?

Situación 1 Ecuación elemental

La razón trigonométrica ya está despejada

\[ \operatorname{sen}x=a \]

\[ \cos x=b \]

\[ \operatorname{tg}x=c \]

Busca el ángulo de referencia, determina los cuadrantes y escribe las soluciones generales.

Situación 2 Ecuación transformada

La razón aparece acompañada de números

\[ a\operatorname{sen}x+b=0 \]

Despeja primero la razón trigonométrica y resuelve después la ecuación elemental obtenida.

Situación 3 Ecuación cuadrática

Aparece una razón elevada al cuadrado

\[ a\operatorname{sen}^2x + b\operatorname{sen}x + c = 0 \]

Realiza un cambio de variable:

\[ u=\operatorname{sen}x \]

Resuelve la ecuación algebraica y vuelve después a la variable trigonométrica.

Situación 4 Varias razones

Aparecen seno y coseno a la vez

\[ \operatorname{sen}^2x + 2\cos^2x = 1 \]

Utiliza una identidad para expresar toda la ecuación mediante una única razón trigonométrica.

Situación 5 Producto

La ecuación puede factorizarse

\[ \operatorname{sen}x \left( 2\cos x-1 \right) = 0 \]

Aplica la propiedad del producto nulo y resuelve cada factor por separado.

Situación 6 Argumento transformado

Aparecen \(2x\), \(3x\) o \(x-\alpha\)

\[ \operatorname{sen}(2x)=a \]

Resuelve primero la ecuación considerando el argumento completo y despeja \(x\) al final.

Forma de la ecuación	Método recomendado	Objetivo
\(\operatorname{sen}x=a\)	Resolución elemental	Buscar ángulo y cuadrantes
\(a\cos x+b=0\)	Despejar el coseno	Llegar a \(\cos x=c\)
\(a\operatorname{sen}^2x+b\operatorname{sen}x+c=0\)	Cambio de variable	Resolver una ecuación cuadrática
\(\operatorname{sen}^2x+\cos^2x\)	Identidad fundamental	Trabajar con una sola razón
\(\operatorname{sen}x\cos x\)	Ángulo doble	Sustituir por \(\dfrac12\operatorname{sen}(2x)\)
Producto igual a cero	Factorización	Separar en varias ecuaciones
\(\operatorname{sen}(nx)=a\)	Resolver el argumento	Despejar \(x\) al final
Sistema trigonométrico	Resolver e intersectar	Encontrar soluciones comunes

Aplicación de la estrategia completa

Resuelve \[ 2\operatorname{sen}^2x + \cos^2x = 2 \]

En la ecuación aparecen seno y coseno elevados al cuadrado. No es una ecuación elemental y tampoco podemos despejar directamente una razón.

Utilizamos la identidad fundamental:

\[ \cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x \]

Sustituimos en la ecuación:

\[ 2\operatorname{sen}^2x + 1 - \operatorname{sen}^2x = 2 \]

Reducimos términos semejantes:

\[ \operatorname{sen}^2x+1=2 \]

Restamos \(1\):

\[ \operatorname{sen}^2x=1 \]

Extraemos la raíz:

\[ \operatorname{sen}x=\pm1 \]

Resolvemos los dos casos.

Primer caso:

\[ \operatorname{sen}x=1 \]

\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \]

Segundo caso:

\[ \operatorname{sen}x=-1 \]

\[ x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \]

Ambas familias pueden escribirse de forma compacta:

\[ \boxed{ x= \frac{\pi}{2} + k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

Método definitivo

Cómo resolver cualquier ecuación trigonométrica

Aunque las ecuaciones pueden adoptar formas muy distintas, casi todas se resuelven siguiendo esta secuencia de decisiones.

Lee antes de operar

Identifica las razones trigonométricas, los argumentos, los exponentes y el intervalo solicitado.

Busca una estructura

Decide si la ecuación es elemental, transformada, cuadrática, factorizable o requiere una identidad.

Reduce la complejidad

Elimina denominadores, agrupa términos, sustituye identidades y trabaja con una única razón siempre que sea posible.

Resuelve los casos elementales

Cuando llegues a seno, coseno o tangente igualados a un número, utiliza los ángulos de referencia y la periodicidad.

No pierdas soluciones

Incluye los dos signos al extraer raíces y todas las ramas que correspondan a seno y coseno.

Revisa el resultado

Aplica el intervalo, comprueba restricciones y sustituye las soluciones dudosas en la ecuación original.

\[ \text{Observar} \;\longrightarrow\; \text{transformar} \;\longrightarrow\; \text{resolver} \;\longrightarrow\; \text{comprobar} \]

Fallos que debes evitar

Errores frecuentes

En las ecuaciones trigonométricas, muchos errores no se producen por desconocer las fórmulas, sino por olvidar soluciones, aplicar mal la periodicidad o realizar transformaciones que no son equivalentes.

Dar solo la solución de la calculadora

\[ \operatorname{sen}x=\frac12 \]

La calculadora proporciona:

\[ x=\frac{\pi}{6} \]

Pero falta la solución del segundo cuadrante:

\[ x=\frac{5\pi}{6} \]

! Para seno y coseno suele haber dos soluciones en cada vuelta completa.

Usar la periodicidad equivocada

El seno y el coseno tienen periodo \(2\pi\):

\[ \operatorname{sen}(x+2\pi) = \operatorname{sen}x \]

La tangente tiene periodo \(\pi\):

\[ \operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg}x \]

! No escribas \(2k\pi\) en una ecuación elemental de tangente.

Olvidar el signo negativo al extraer raíces

\[ \operatorname{sen}^2x=\frac14 \]

No implica únicamente:

\[ \operatorname{sen}x=\frac12 \]

La equivalencia correcta es:

\[ \boxed{ \operatorname{sen}x= \pm\frac12 } \]

No comprobar si el valor es posible

\[ \cos x=\frac32 \]

Esta ecuación no tiene solución real porque:

\[ -1\leq\cos x\leq1 \]

! Seno y coseno nunca pueden ser mayores que \(1\) ni menores que \(-1\).

Dividir por una expresión que puede valer cero

\[ \operatorname{sen}x\cos x = \operatorname{sen}x \]

Dividir directamente entre \(\operatorname{sen}x\) haría perder las soluciones que verifican:

\[ \operatorname{sen}x=0 \]

Es preferible factorizar:

\[ \operatorname{sen}x \left( \cos x-1 \right) = 0 \]

Aplicar mal una identidad

No es correcto escribir:

\[ \operatorname{sen}^2x = 1-\cos x \]

La identidad correcta es:

\[ \boxed{ \operatorname{sen}^2x = 1-\cos^2x } \]

El cuadrado debe aparecer en las dos razones trigonométricas.

No dividir toda la solución cuando aparece \(2x\)

\[ 2x= \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

Al dividir entre \(2\):

\[ \boxed{ x= \frac{\pi}{6} + k\pi } \]

Deben dividirse tanto el ángulo como el término periódico.

Confundir grados y radianes

Las expresiones siguientes representan el mismo ángulo:

\[ 60^\circ = \frac{\pi}{3} \]

Pero no se deben mezclar unidades dentro de una misma solución.

! Comprueba siempre si la calculadora está en modo DEG o RAD.

Incluir extremos que no pertenecen al intervalo

\[ 0\leq x<2\pi \]

El valor \(0\) pertenece al intervalo, pero \(2\pi\) no.

\[ 0\in[0,2\pi) \]

\[ 2\pi\notin[0,2\pi) \]

Unir soluciones en vez de intersectarlas

En un sistema, la solución debe cumplir todas las ecuaciones.

\[ S=S_1\cap S_2 \]

No debemos calcular:

\[ S_1\cup S_2 \]

La unión contiene valores que cumplen solo una de las ecuaciones.

Analizar una resolución incorrecta

¿Dónde está el error?

Resolución incorrecta

Un alumno resuelve: \[ \operatorname{sen}^2x=\frac34 \]

Y escribe:

\[ \operatorname{sen}x = \frac{\sqrt3}{2} \]

\[ x= \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

Esta resolución contiene dos errores.

Primer error: falta el signo negativo

Al extraer la raíz:

\[ \operatorname{sen}x = \pm \frac{\sqrt3}{2} \]

Segundo error: faltan soluciones angulares

Para el seno positivo:

\[ x= \frac{\pi}{3} \qquad\text{o}\qquad x= \frac{2\pi}{3} \]

Para el seno negativo:

\[ x= \frac{4\pi}{3} \qquad\text{o}\qquad x= \frac{5\pi}{3} \]

Por tanto, en una vuelta completa:

\[ x\in \left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right\} \]

La solución general puede escribirse mediante cuatro familias:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\[1mm] x&=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\[1mm] x&=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\\[1mm] x&=\frac{5\pi}{3}+2k\pi \end{aligned} \qquad k\in\mathbb Z } \]

También puede expresarse de forma más compacta:

\[ \boxed{ x= \frac{\pi}{3} + k\pi \quad\text{o}\quad x= \frac{2\pi}{3} + k\pi, \qquad k\in\mathbb Z } \]

✓

Antes de entregar

Lista de comprobación

✓

¿He despejado correctamente?

Revisa signos, fracciones y operaciones algebraicas antes de calcular ángulos.

✓

¿He incluido todas las ramas?

Para seno y coseno, comprueba si existen dos soluciones en cada vuelta.

✓

¿He utilizado el periodo correcto?

Seno y coseno: \(2\pi\). Tangente: \(\pi\).

✓

¿He dividido toda la expresión?

Si el argumento es \(2x\) o \(3x\), divide también el término que contiene \(k\).

✓

¿He aplicado el intervalo?

Elimina las soluciones que quedan fuera y revisa si los extremos están incluidos.

✓

¿He comprobado restricciones?

Revisa denominadores, divisiones realizadas y posibles soluciones extrañas.

i Una solución bien presentada debe indicar con claridad las transformaciones realizadas, las ecuaciones elementales obtenidas, la periodicidad y, cuando corresponda, el conjunto final dentro del intervalo.

Síntesis final

Resumen del tema

Las ecuaciones trigonométricas combinan procedimientos algebraicos, identidades trigonométricas y el conocimiento de la circunferencia goniométrica. Para resolverlas correctamente es necesario transformar la ecuación hasta obtener una o varias ecuaciones elementales y escribir todas sus soluciones.

Ecuaciones elementales

Son aquellas en las que una razón trigonométrica aparece despejada.

\[ \operatorname{sen}x=a \]

\[ \cos x=b \]

\[ \operatorname{tg}x=c \]

Ecuaciones transformadas

Requieren operaciones algebraicas antes de resolver la parte trigonométrica.

\[ a\operatorname{sen}x+b=0 \]

\[ \operatorname{sen}x=-\frac ba \]

Ecuaciones cuadráticas

Se resuelven mediante un cambio de variable.

\[ u=\operatorname{sen}x \]

\[ au^2+bu+c=0 \]

Ecuaciones con identidades

Se transforman utilizando relaciones trigonométricas conocidas.

\[ \operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1 \]

\[ \operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen}x\cos x \]

Ecuaciones factorizables

Se utiliza la propiedad del producto nulo.

\[ A\cdot B=0 \]

\[ A=0 \quad\text{o}\quad B=0 \]

Sistemas trigonométricos

La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.

\[ S=S_1\cap S_2 \]

Fórmulas esenciales

Soluciones generales que debes conocer

Ecuación	Solución general	Observación
\[ \operatorname{sen}x=\operatorname{sen}\alpha \]	\[ \begin{aligned} x&=\alpha+2k\pi\\ x&=\pi-\alpha+2k\pi \end{aligned} \]	Dos familias de soluciones.
\[ \cos x=\cos\alpha \]	\[ x=\pm\alpha+2k\pi \]	Puede escribirse como dos familias.
\[ \operatorname{tg}x=\operatorname{tg}\alpha \]	\[ x=\alpha+k\pi \]	La tangente tiene periodo \(\pi\).
\[ \operatorname{sen}x=0 \]	\[ x=k\pi \]	Ocurre en los múltiplos de \(\pi\).
\[ \cos x=0 \]	\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \]	Ocurre en los múltiplos impares de \(\pi/2\).
\[ \operatorname{tg}x=0 \]	\[ x=k\pi \]	Coincide con los ceros del seno.
\[ \operatorname{sen}x=1 \]	\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \]	Máximo del seno.
\[ \operatorname{sen}x=-1 \]	\[ x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \]	Mínimo del seno.
\[ \cos x=1 \]	\[ x=2k\pi \]	Máximo del coseno.
\[ \cos x=-1 \]	\[ x=\pi+2k\pi \]	Mínimo del coseno.

i En todas estas expresiones: \[ k\in\mathbb Z \] porque el parámetro debe recorrer todos los números enteros para generar las infinitas soluciones periódicas.

→

Secuencia de trabajo

Proceso completo de resolución

Clasifica

Decide si la ecuación es elemental, transformada, cuadrática, factorizable o necesita identidades.

Opera

Agrupa términos, despeja razones, elimina denominadores o realiza un cambio de variable.

Transforma

Utiliza identidades para reducir la ecuación a una única razón trigonométrica.

Resuelve

Obtén los ángulos de referencia y determina todas las soluciones correspondientes.

Generaliza

Añade el término periódico correcto mediante el parámetro entero \(k\).

Comprueba

Revisa intervalos, restricciones, denominadores y posibles soluciones extrañas.

Qué debes recordar

Las ideas esenciales del tema

Las soluciones son periódicas

Una ecuación trigonométrica suele tener infinitas soluciones porque las razones trigonométricas repiten sus valores.

Seno y coseno suelen tener dos ramas

Dentro de una vuelta completa, normalmente existen dos ángulos con el mismo seno o el mismo coseno.

La tangente tiene periodo \(\pi\)

Sus soluciones generales se expresan mediante \(x=\alpha+k\pi\).

No siempre se resuelve directamente

Puede ser necesario despejar, factorizar, hacer un cambio de variable o utilizar identidades.

Los intervalos seleccionan soluciones

Después de obtener la solución general, se conservan únicamente los valores que pertenecen al intervalo solicitado.

En un sistema se intersecta

La solución debe cumplir simultáneamente todas las ecuaciones o condiciones planteadas.

\[ \text{Transformar} \;\longrightarrow\; \text{resolver} \;\longrightarrow\; \text{usar la periodicidad} \;\longrightarrow\; \text{comprobar} \]

✓

Comprueba tu aprendizaje

¿Dominas el tema?

Debes saber Nivel básico

Resolver ecuaciones elementales de seno, coseno y tangente.
Escribir correctamente las soluciones generales.
Reconocer la periodicidad de cada razón trigonométrica.
Seleccionar soluciones dentro de un intervalo.

Debes saber Nivel avanzado

Resolver ecuaciones cuadráticas trigonométricas.
Aplicar identidades para transformar ecuaciones.
Resolver ecuaciones con argumentos como \(2x\) o \(3x\).
Resolver sistemas y condiciones de signo.

Síntesis final

Resumen del tema

Las ecuaciones trigonométricas combinan procedimientos algebraicos, identidades trigonométricas y el conocimiento de la circunferencia goniométrica.

El objetivo consiste en transformar la ecuación original hasta obtener una o varias ecuaciones elementales de seno, coseno o tangente. Después se escriben todas sus soluciones y se aplican las restricciones o el intervalo indicado.

Ecuaciones elementales

Una razón trigonométrica aparece directamente igualada a un número.

\[ \operatorname{sen}x=a \]

\[ \cos x=b \]

\[ \operatorname{tg}x=c \]

Ecuaciones transformadas

Es necesario operar algebraicamente para despejar la razón trigonométrica.

\[ a\operatorname{sen}x+b=0 \]

\[ \operatorname{sen}x=-\frac{b}{a} \]

Ecuaciones cuadráticas

Se resuelven mediante un cambio de variable y una ecuación algebraica de segundo grado.

\[ u=\operatorname{sen}x \]

\[ au^2+bu+c=0 \]

Ecuaciones con identidades

Se utilizan identidades para expresar la ecuación mediante una sola razón trigonométrica.

\[ \operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1 \]

\[ \operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen}x\cos x \]

Ecuaciones factorizables

Se transforma la ecuación en un producto y se aplica la propiedad del producto nulo.

\[ A\cdot B=0 \]

\[ A=0 \quad\text{o}\quad B=0 \]

Sistemas trigonométricos

La solución debe verificar simultáneamente todas las ecuaciones o condiciones del sistema.

\[ S=S_1\cap S_2 \]

Fórmulas esenciales

Soluciones generales que debes conocer

Ecuación	Solución general	Idea clave
\[ \operatorname{sen}x = \operatorname{sen}\alpha \]	\[ \begin{aligned} x&=\alpha+2k\pi,\\ x&=\pi-\alpha+2k\pi \end{aligned} \]	El seno tiene normalmente dos soluciones en cada vuelta.
\[ \cos x=\cos\alpha \]	\[ x=\pm\alpha+2k\pi \]	El coseno toma el mismo valor en ángulos simétricos.
\[ \operatorname{tg}x = \operatorname{tg}\alpha \]	\[ x=\alpha+k\pi \]	La tangente tiene periodo \(\pi\).
\[ \operatorname{sen}x=0 \]	\[ x=k\pi \]	El seno se anula en los múltiplos de \(\pi\).
\[ \cos x=0 \]	\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \]	El coseno se anula en los múltiplos impares de \(\pi/2\).
\[ \operatorname{tg}x=0 \]	\[ x=k\pi \]	Los ceros de la tangente coinciden con los del seno.
\[ \operatorname{sen}x=1 \]	\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \]	Corresponde al máximo del seno.
\[ \operatorname{sen}x=-1 \]	\[ x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \]	Corresponde al mínimo del seno.
\[ \cos x=1 \]	\[ x=2k\pi \]	Corresponde al máximo del coseno.
\[ \cos x=-1 \]	\[ x=\pi+2k\pi \]	Corresponde al mínimo del coseno.

i En todas las soluciones generales aparece \(k\in\mathbb Z\). El parámetro entero permite representar las infinitas soluciones obtenidas al repetir cada periodo.

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Secuencia de trabajo

Proceso completo de resolución

Clasifica

Identifica si la ecuación es elemental, transformada, cuadrática, factorizable o necesita identidades.

Simplifica

Agrupa términos, despeja razones, elimina denominadores o realiza un cambio de variable.

Transforma

Utiliza identidades para reducir la ecuación a una sola razón trigonométrica.

Resuelve

Obtén los ángulos de referencia y determina todas las ramas de solución.

Generaliza

Incorpora la periodicidad correcta mediante el parámetro entero \(k\).

Comprueba

Aplica el intervalo y revisa restricciones, denominadores y posibles soluciones extrañas.

Qué debes recordar

Las ideas esenciales del tema

Las soluciones son periódicas

Las razones trigonométricas repiten sus valores y, por ello, las ecuaciones suelen tener infinitas soluciones.

Seno y coseno suelen tener dos ramas

En una vuelta completa suelen existir dos ángulos con el mismo seno o el mismo coseno.

La tangente tiene periodo \(\pi\)

Sus soluciones generales se expresan mediante \(x=\alpha+k\pi\).

Hay que transformar antes de resolver

Algunas ecuaciones requieren despejar, factorizar, utilizar una identidad o realizar un cambio de variable.

El intervalo selecciona soluciones

La solución general debe restringirse a los valores incluidos en el intervalo solicitado.

En un sistema se intersecta

La solución final está formada únicamente por los valores que cumplen todas las ecuaciones.

\[ \text{Transformar} \;\longrightarrow\; \text{resolver} \;\longrightarrow\; \text{generalizar} \;\longrightarrow\; \text{comprobar} \]

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Debes saber Nivel básico

Resolver ecuaciones elementales de seno, coseno y tangente.
Escribir correctamente las soluciones generales.
Reconocer la periodicidad de cada razón trigonométrica.
Seleccionar soluciones dentro de un intervalo.

Debes saber Nivel avanzado

Resolver ecuaciones cuadráticas trigonométricas.
Aplicar identidades para transformar ecuaciones.
Resolver ecuaciones con argumentos como \(2x\) o \(3x\).
Resolver sistemas trigonométricos y condiciones de signo.

Resumen final

Ecuaciones y sistemas trigonométricos

Resolver una ecuación trigonométrica consiste en transformar la expresión original hasta obtener ecuaciones elementales de seno, coseno o tangente.

Transformar

Simplifica, factoriza o utiliza identidades hasta trabajar con expresiones trigonométricas elementales.

Resolver

Calcula los ángulos de referencia y determina todos los cuadrantes posibles.

Generalizar

Añade el periodo correspondiente para representar todas las soluciones.

Restringir

Conserva únicamente las soluciones que pertenecen al intervalo y cumplen las condiciones iniciales.

\[ \text{Transformar} \;\longrightarrow\; \text{resolver} \;\longrightarrow\; \text{usar la periodicidad} \;\longrightarrow\; \text{comprobar} \]