Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x+9}{x+10}\right)^{-\frac{x}{x+1}}\)

Resolución paso a paso

La base tiene un grado más en el numerador que en el denominador, por lo que:

\[
\frac{x^2-5x+9}{x+10}\sim x
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{x^2-5x+9}{x+10}\longrightarrow+\infty.
\]

El exponente verifica:

\[
-\frac{x}{x+1}
=-\frac1{1+\frac1x}
\longrightarrow-1.
\]

Escribimos la potencia con exponente positivo en el denominador:

\[
\left(\frac{x^2-5x+9}{x+10}\right)^{-\frac{x}{x+1}}
=\frac{1}{
\left(\frac{x^2-5x+9}{x+10}\right)^{\frac{x}{x+1}}
}.
\]

El denominador tiende a \(+\infty\), por lo que la fracción tiende a \(0\).

Resultado:

\[
\boxed{0}
\]