Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+3x}\right)\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), obtenemos \(\infty-\infty\). Para resolver esta indeterminación, racionalizamos la diferencia de radicales:

\[
\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+3x}
=\frac{(x^2-x)-(x^2+3x)}
{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+3x}}.
\]

Simplificamos el numerador:

\[
\frac{-4x}{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+3x}}.
\]

Como \(x\to+\infty\), extraemos \(x^2\) de las raíces y dividimos entre \(x\):

\[
\frac{-4}{\sqrt{1-\frac1x}+\sqrt{1+\frac3x}}
\longrightarrow\frac{-4}{1+1}=-2.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-2}
\]