Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac1{\sqrt{x+1}-x}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), el denominador presenta la forma \(\infty-\infty\). Para resolver esta indeterminación, racionalizamos el denominador multiplicando por su conjugado:

\[
\frac1{\sqrt{x+1}-x}
\cdot
\frac{\sqrt{x+1}+x}{\sqrt{x+1}+x}
=\frac{\sqrt{x+1}+x}{x+1-x^2}.
\]

Dividimos numerador y denominador entre \(x^2\):

\[
\frac{\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}+\frac1x}
{\frac1x+\frac1{x^2}-1}.
\]

El numerador tiende a \(0\) y el denominador a \(-1\). Por tanto, el cociente tiende a \(0\).

Resultado:

\[
\boxed{0}
\]