Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(4x+5-\sqrt{16x^2-5}\right)\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), obtenemos \(\infty-\infty\). Para resolver esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por el conjugado:

\[
4x+5-\sqrt{16x^2-5}
=\frac{(4x+5)^2-(16x^2-5)}
{4x+5+\sqrt{16x^2-5}}.
\]

Desarrollamos el numerador:

\[
(4x+5)^2-(16x^2-5)
=16x^2+40x+25-16x^2+5
=40x+30.
\]

Dividimos numerador y denominador entre \(x>0\):

\[
\frac{40+\frac{30}{x}}
{4+\frac5x+\sqrt{16-\frac5{x^2}}}
\longrightarrow\frac{40}{4+4}=5.
\]

Resultado:

\[
\boxed{5}
\]