Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+3x+1}-2x\right)\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), obtenemos \(\infty-\infty\). Para resolver esta indeterminación, racionalizamos usando el conjugado:

\[
\sqrt{4x^2+3x+1}-2x
=\frac{4x^2+3x+1-4x^2}
{\sqrt{4x^2+3x+1}+2x}.
\]

Queda:

\[
\frac{3x+1}{\sqrt{4x^2+3x+1}+2x}.
\]

Dividimos numerador y denominador entre \(x>0\):

\[
\frac{3+\frac1x}
{\sqrt{4+\frac3x+\frac1{x^2}}+2}
\longrightarrow\frac{3}{2+2}=\frac34.
\]

Resultado:

\[
\boxed{\frac34}
\]