Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to-2}\frac{2x^3+3x^2+x+6}{x^2+3x+2}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x=-2\), obtenemos \(\frac00\). Para resolver esta indeterminación, comenzamos factorizando el denominador:

\[
x^2+3x+2=(x+1)(x+2).
\]

Como \(x=-2\) también anula el numerador, dividimos el polinomio entre \(x+2\):

\[
2x^3+3x^2+x+6
=(x+2)(2x^2-x+3).
\]

Simplificamos el factor común:

\[
\frac{2x^2-x+3}{x+1}.
\]

Sustituimos \(x=-2\):

\[
\frac{2(-2)^2-(-2)+3}{-2+1}
=\frac{8+2+3}{-1}=-13.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-13}
\]