Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{2x^2+3x-3}-\sqrt{2x^2+7}\right)\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), obtenemos \(\infty-\infty\). Para resolver esta indeterminación, racionalizamos la diferencia de radicales:

\[
\sqrt{2x^2+3x-3}-\sqrt{2x^2+7}
=\frac{(2x^2+3x-3)-(2x^2+7)}
{\sqrt{2x^2+3x-3}+\sqrt{2x^2+7}}.
\]

Simplificamos el numerador:

\[
\frac{3x-10}
{\sqrt{2x^2+3x-3}+\sqrt{2x^2+7}}.
\]

Como \(x\to+\infty\), extraemos \(x^2\) de las raíces y dividimos entre \(x\):

\[
\frac{3-\frac{10}{x}}
{\sqrt{2+\frac3x-\frac3{x^2}}+\sqrt{2+\frac7{x^2}}}
\longrightarrow\frac3{2\sqrt2}.
\]

Racionalizamos el resultado:

\[
\frac3{2\sqrt2}
=\frac{3\sqrt2}{4}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{\frac{3\sqrt2}{4}}
\]