Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2x+1}-3}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x=4\), obtenemos \(\frac00\). Para resolver esta indeterminación, racionalizamos por separado el numerador y el denominador:

\[
2-\sqrt{x}
=\frac{4-x}{2+\sqrt{x}}
=-\frac{x-4}{2+\sqrt{x}},
\]

\[
\sqrt{2x+1}-3
=\frac{2x+1-9}{\sqrt{2x+1}+3}
=\frac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3}.
\]

Formamos el cociente y simplificamos \(x-4\):

\[
\frac{-\frac{x-4}{2+\sqrt{x}}}
{\frac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3}}
=-\frac{\sqrt{2x+1}+3}{2(2+\sqrt{x})}.
\]

Sustituimos \(x=4\):

\[
-\frac{3+3}{2(2+2)}
=-\frac68=-\frac34.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-\frac34}
\]