Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x+4}-3}{2-\sqrt{4x}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), el numerador y el denominador crecen en valor absoluto sin límite, por lo que obtenemos \(\frac{\infty}{\infty}\). Para resolverla, dividimos numerador y denominador entre \(\sqrt{x}\):

\[
\frac{\sqrt{5x+4}-3}{2-\sqrt{4x}}
=\frac{\sqrt{5+\frac4x}-\frac3{\sqrt{x}}}
{\frac2{\sqrt{x}}-\sqrt4}.
\]

Calculamos los límites de los términos:

\[
\sqrt{5+\frac4x}\to\sqrt5,
\qquad
\frac3{\sqrt{x}}\to0,
\qquad
\frac2{\sqrt{x}}\to0,
\qquad
\sqrt4=2.
\]

Por tanto:

\[
\frac{\sqrt5-0}{0-2}
=-\frac{\sqrt5}{2}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-\frac{\sqrt5}{2}}
\]