Demuestra: \(\cot^2\alpha=\cos^2\alpha+\left(\cot\alpha\cdot\cos\alpha\right)^2\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Demuestra la siguiente identidad:
\[
\cot^2\alpha=\cos^2\alpha+\left(\cot\alpha\cdot\cos\alpha\right)^2
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Partimos del segundo miembro y expresamos la cotangente como cociente:
\[
\cos^2\alpha+\left(\cot\alpha\cdot\cos\alpha\right)^2
=\cos^2\alpha+\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\cos\alpha\right)^2.
\]
Elevamos al cuadrado:
\[
\cos^2\alpha+\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}.
\]
Reducimos a común denominador y sacamos factor común \(\cos^2\alpha\):
\[
\frac{\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}
=\frac{\cos^2\alpha\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)}{\sin^2\alpha}.
\]
Aplicamos \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):
\[
\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cot^2\alpha.
\]
Por tanto,
\[
\boxed{\cot^2\alpha=\cos^2\alpha+\left(\cot\alpha\cdot\cos\alpha\right)^2}.
\]