PropiaGeometríaIdentidades trigonométricasMedia
Demuestra: \(\frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Geometría
Tema
Identidades trigonométricas
Fuente
Propia
Dificultad
Media
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Demuestra la siguiente identidad:
\[
\frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Partimos del segundo miembro y sacamos factor común \(\cos^2\alpha\):
\[
\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha
=\cos^2\alpha\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right).
\]
Utilizamos la identidad fundamental:
\[
\cos^2\alpha\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)
=\cos^2\alpha.
\]
Como \(\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\), se tiene:
\[
\cos^2\alpha=\frac{1}{\sec^2\alpha}.
\]
Así,
\[
\boxed{\frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha}.
\]