Demuestra: \(\frac{\cot\alpha+\tan\alpha}{\cot\alpha-\tan\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Demuestra la siguiente identidad:
\[
\frac{\cot\alpha+\tan\alpha}{\cot\alpha-\tan\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Transformamos el numerador:
\[
\cot\alpha+\tan\alpha
=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}
=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}.
\]
Transformamos del mismo modo el denominador:
\[
\cot\alpha-\tan\alpha
=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}.
\]
Sustituimos ambos resultados en el cociente:
\[
\frac{\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}
{\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}
=\frac{1}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}.
\]
Así queda demostrada la identidad:
\[
\boxed{\frac{\cot\alpha+\tan\alpha}{\cot\alpha-\tan\alpha}
=\frac{1}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}}.
\]