Demuestra: \(\frac{\sin\alpha+\cot\alpha}{\tan\alpha+\csc\alpha}=\cos\alpha\)

Resolución paso a paso

Expresamos la cotangente, la tangente y la cosecante mediante seno y coseno:

\[
\frac{\sin\alpha+\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}
{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{1}{\sin\alpha}}.
\]

Reducimos a común denominador en el numerador y en el denominador:

\[
\frac{\dfrac{\sin^2\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha}}
{\dfrac{\sin^2\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}.
\]

Dividimos por la fracción del denominador:

\[
\frac{\sin^2\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha}
\cdot
\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos\alpha}
=\cos\alpha.
\]

Por tanto, en los valores para los que la expresión está definida,

\[
\boxed{\frac{\sin\alpha+\cot\alpha}{\tan\alpha+\csc\alpha}=\cos\alpha}.
\]